円の中に三角形が内接しており、一部の辺の長さが与えられています。中心Oから三角形の頂点までの距離 $x$ を求める問題です。円の半径は $x+1$ かつ $3+x$ と表すことができます。また、円に内接する三角形の性質も利用します。

1. 問題の内容

円の中に三角形が内接しており、一部の辺の長さが与えられています。中心Oから三角形の頂点までの距離 $x$ を求める問題です。円の半径は $x+1$ かつ $3+x$ と表すことができます。また、円に内接する三角形の性質も利用します。

2. 解き方の手順

まず、円の半径を求めます。円の半径は中心Oからの距離で求められるため、$x+1$ および $x+3$ と表すことができます。したがって、円の半径は $\frac{1+3}{2}=2$となります。

次に、$x$ の値を計算します。円の半径が2であることから、$x+1=2$ または $x+3=2$ が成り立ちます。$x$はOから三角形の頂点までの距離のため、正の値をとります。したがって、$x+1=2$より$x=1$であることがわかります。

三角形の残りの辺の長さを求めます。中心Oから三角形の頂点までの距離が1なので、円の直径は$1+3=4$となり半径は2となります。

円に内接する三角形において、円の中心を通る辺は直径となるため、その辺に対する角は90度になります。

したがって、三角形は直角三角形であり、ピタゴラスの定理を利用できます。

$4^2 + (1+3)^2= 4^2+4^2 = 32$

ゆえに、斜辺の長さは$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$x = 1$