直角三角形ABCにおいて、AB=3, BC=4, CA=5とする。三角形ABCの内接円の中心をIとし、内接円とABの接点をHとする。直線AIと内接円の交点をP, Q、辺BCとの交点をDとする。ただしAP<AQとする。 (1) 線分BHの長さを求めよ。 (2) 線分ADの長さを求めよ。 (3) 線分APの長さを求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、AB=3, BC=4, CA=5とする。三角形ABCの内接円の中心をIとし、内接円とABの接点をHとする。直線AIと内接円の交点をP, Q、辺BCとの交点をDとする。ただしAP<AQとする。

(1) 線分BHの長さを求めよ。

(2) 線分ADの長さを求めよ。

(3) 線分APの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

三角形ABCの内接円の半径をrとする。

三角形ABCの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$

また、

$S = \frac{1}{2}r(AB+BC+CA) = \frac{1}{2}r(3+4+5) = 6r$

よって、$6r=6$より、$r=1$

AH = AB - BHである。

AH = AE (接線の長さ)

BD = BF (接線の長さ)

CE = CF (接線の長さ)

AB + BC + CA = AE + EB + BD + DC + CF + FA

AB + BC + CA = 2AE + 2BD + 2CF

AB + BC + CA = 2(AE + BD + CF)

AE + BD + CF = (AB + BC + CA)/2 = (3 + 4 + 5)/2 = 6

また、

$AH = AE$

$BH = BD$

$CD = CE$

$AH + BH = AB = 3$

$BD + CD = BC = 4$

$AE + CE = AC = 5$

$AH + BD + CD + AE + CE = 3+4+5 = 12$

$AE + BD + CE = 6$

$AH + BH = AB = 3$

$BH = BD$, $AH=AE$

$AH = AE$

$BH = BD$

$CD = CE = BC-BD = 4-BH$

$AE+CE = AC=5$

$AE = 5 - CE = 5 - (4 - BH) = 1 + BH$

$AH + BH = 3$

$1+BH + BH = 3$

$2BH = 2$

$BH = 1$

(2)

BD = BH = 1

CD = BC - BD = 4 - 1 = 3

三角形ADCにおいて、角の二等分線定理より、

$AD:DC = AB:BC = 3:4$

$AC:CD = 5:3$ なので、

$AD = \frac{AC \cdot AB}{AB+BC} = \frac{5 \cdot 3}{3+4}= \frac{15}{7}$

AD = $\frac{5}{8} \times \sqrt{5^2+3^2-2*3*5*\frac{5}{5}}$

三角形ABCにおいて、角Aの二等分線ADに関して、角の二等分線定理より、

$BD:CD = AB:AC = 3:5$

$BD+CD = BC = 4$なので、

$BD = \frac{3}{3+5} BC = \frac{3}{8} \times 4 = \frac{3}{2}$

$CD = \frac{5}{8} \times 4 = \frac{5}{2}$

三角形ABDにおいて、余弦定理より、

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos B$

$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 AB \cdot BC} = \frac{3^2 + 4^2 - 5^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = 0$

$AD^2 = 3^2 + (\frac{3}{2})^2 = 9 + \frac{9}{4} = \frac{36+9}{4} = \frac{45}{4}$

$AD = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$

(3)

AIは角Aの二等分線なので、線分APの長さを求める。

三平方の定理より、$BC^2 + AB^2 = AC^2$ である。

$r = \frac{AB+BC-AC}{2}$

$r = \frac{3+4-5}{2} = 1$

点IからABに下ろした垂線の足をHとする。IH = r = 1

AI = $\frac{1}{\sin(A/2)}$

$\cos A = \frac{3}{5}, \sin A = \frac{4}{5}$

$\sin(A/2) = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} = \sqrt{\frac{1-3/5}{2}} = \sqrt{\frac{2/5}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$AI = \sqrt{5}$

$AP = AI - IP = \sqrt{5} - 1$

3. 最終的な答え

(1) BH = 1

(2) AD = $\frac{3\sqrt{5}}{2}$

(3) AP = $\sqrt{5} - 1$