2つの直線 $y = mx + 5$ と $y = 3x - 6$ のなす角が $\frac{\pi}{4}$ であるとき、定数 $m$ の値を求めよ。

幾何学直線角度傾きtan絶対値方程式
2025/7/3

1. 問題の内容

2つの直線 y=mx+5y = mx + 5y=3x6y = 3x - 6 のなす角が π4\frac{\pi}{4} であるとき、定数 mm の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの直線の傾きをそれぞれ m1m_1m2m_2 とすると、m1=mm_1 = mm2=3m_2 = 3 である。
2つの直線のなす角を θ\theta とすると、tanθ\tan \theta は以下の式で表される。
tanθ=m1m21+m1m2\qquad \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|
問題より、θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} であるから、tanπ4=1\tan \frac{\pi}{4} = 1 となる。
したがって、以下の式が成り立つ。
1=m31+3m\qquad 1 = \left| \frac{m - 3}{1 + 3m} \right|
絶対値を外すと、以下の2つの場合が考えられる。
(i) m31+3m=1\frac{m - 3}{1 + 3m} = 1
(ii) m31+3m=1\frac{m - 3}{1 + 3m} = -1
(i) の場合:
m3=1+3mm - 3 = 1 + 3m
2m=4-2m = 4
m=2m = -2
(ii) の場合:
m3=13mm - 3 = -1 - 3m
4m=24m = 2
m=12m = \frac{1}{2}
1+3m=01 + 3m = 0 となる m=13m = -\frac{1}{3} は、元の式の分母を0にしてしまうので、解として適切ではない。
m=2m = -2m=12m = \frac{1}{2} はどちらも 1+3m01 + 3m \neq 0 を満たすので、どちらも解として適切である。

3. 最終的な答え

m=2,12m = -2, \frac{1}{2}

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