図1と図2を参照して、ゴンドラの水平方向の変位 $d$ と、地面からの高さ $h$ を $\theta$ で表す。また、$0 \le \theta < \pi$ の範囲で、ゴンドラの高さが30mになるときの$\theta$の値を$\alpha$とするとき、$\alpha$の範囲を求める。

1. 問題の内容

図1と図2を参照して、ゴンドラの水平方向の変位 $d$ と、地面からの高さ $h$ を $\theta$ で表す。また、$0 \le \theta < \pi$ の範囲で、ゴンドラの高さが30mになるときの$\theta$の値を$\alpha$とするとき、$\alpha$の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、水平方向の変位 $d$ を求める。図1より、半径50mの円の水平方向の成分は $50\cos\theta$ であるから、$d = 50\cos\theta$ となる。次に、地面からの高さ $h$ を求める。図2より、地面からの高さは60mで、そこから円の垂直方向の成分 $50\sin\theta$ が加わるから、$h = 60+50\sin\theta$ となる。

次に、ゴンドラが地表から30mの高さになるとき、つまり $h=30$ のときの$\theta$を$\alpha$とおく。したがって、

$60 + 50\sin\alpha = 30$

$50\sin\alpha = -30$

$\sin\alpha = -\frac{3}{5}$

$0 \le \alpha < \pi$ の範囲で $\sin\alpha$ が負になるのは、$\pi/2 < \alpha < \pi$ の範囲である。

$-\frac{3}{5} \approx -0.6$ であることを考慮すると、$\pi/2 < \alpha < \pi$ の範囲内で、$\alpha$ は$\pi/2$よりも少し大きくなる。$\sin(\pi/2) = 1$, $\sin(\pi) = 0$ であり、$\sin(\alpha)$ が負になるということは、$\pi/2 < \alpha < \pi$ の範囲であることは間違いない。$\sin(2\pi/3)=\sqrt{3}/2 \approx 0.87$, $\sin(3\pi/4) = \sqrt{2}/2 \approx 0.71$, $\sin(5\pi/6) = 1/2 = 0.5$.

$\sin(\alpha) = -0.6$ となる$\alpha$は$\pi/2$より大きいので、$\pi/2 < \alpha < \pi$ の範囲にある。$\sin(2\pi/3) = \sqrt{3}/2$ より小さいことから、

選択肢の中では、$\pi/2 < \alpha < 2\pi/3$ になる。

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 5

ウ: 4