円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ について、 (1) 円と直線が共有点をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。 (2) 円と直線が接するとき、定数 $m$ の値と接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ について、

(1) 円と直線が共有点をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

(2) 円と直線が接するとき、定数 $m$ の値と接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ が共有点をもつ条件は、円の中心(0, 0)と直線 $y = 2x + m$ (すなわち $2x - y + m = 0$)との距離が、円の半径 $\sqrt{5}$ 以下であることである。

点と直線の距離の公式より、

$$\frac{|2 \cdot 0 - 0 + m|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \leq \sqrt{5}$$

$$\frac{|m|}{\sqrt{5}} \leq \sqrt{5}$$

$$|m| \leq 5$$

したがって、 $-5 \leq m \leq 5$。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ が接する条件は、円の中心(0, 0)と直線 $y = 2x + m$ (すなわち $2x - y + m = 0$)との距離が、円の半径 $\sqrt{5}$ と等しいことである。

点と直線の距離の公式より、

$$\frac{|2 \cdot 0 - 0 + m|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \sqrt{5}$$

$$\frac{|m|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$$

$$|m| = 5$$

したがって、$m = \pm 5$。

$m = 5$ のとき、直線は $y = 2x + 5$。これを円の方程式に代入すると、$x^2 + (2x + 5)^2 = 5$ となり、

$x^2 + 4x^2 + 20x + 25 = 5$

$5x^2 + 20x + 20 = 0$

$x^2 + 4x + 4 = 0$

$(x + 2)^2 = 0$

$x = -2$

$y = 2(-2) + 5 = 1$

よって、接点の座標は $(-2, 1)$。

$m = -5$ のとき、直線は $y = 2x - 5$。これを円の方程式に代入すると、$x^2 + (2x - 5)^2 = 5$ となり、

$x^2 + 4x^2 - 20x + 25 = 5$

$5x^2 - 20x + 20 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

$y = 2(2) - 5 = -1$

よって、接点の座標は $(2, -1)$。

3. 最終的な答え

(1) $-5 \leq m \leq 5$

(2) $m = 5$ のとき接点の座標は $(-2, 1)$、 $m = -5$ のとき接点の座標は $(2, -1)$。