与えられた3点を通る円の方程式を求める問題です。 (1) A(1, 1), B(2, 1), C(-1, 0) (2) A(1, 3), B(5, -5), C(4, 2)

1. 問題の内容

与えられた3点を通る円の方程式を求める問題です。

(1) A(1, 1), B(2, 1), C(-1, 0)

(2) A(1, 3), B(5, -5), C(4, 2)

2. 解き方の手順

円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおきます。

それぞれの点の座標を代入して、$l$, $m$, $n$ についての連立方程式を立てて解きます。

(1)

A(1, 1) を代入: $1^2 + 1^2 + l + m + n = 0$ => $l + m + n = -2$ (1)

B(2, 1) を代入: $2^2 + 1^2 + 2l + m + n = 0$ => $2l + m + n = -5$ (2)

C(-1, 0) を代入: $(-1)^2 + 0^2 - l + 0m + n = 0$ => $-l + n = -1$ (3)

(2) - (1): $l = -3$

(3) に代入: $3 + n = -1$ => $n = -4$

(1) に代入: $-3 + m - 4 = -2$ => $m = 5$

したがって、円の方程式は $x^2 + y^2 - 3x + 5y - 4 = 0$

これを変形すると $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 4 = \frac{34+16}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$.

中心 $(\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$, 半径 $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

(2)

A(1, 3) を代入: $1^2 + 3^2 + l + 3m + n = 0$ => $l + 3m + n = -10$ (1)

B(5, -5) を代入: $5^2 + (-5)^2 + 5l - 5m + n = 0$ => $5l - 5m + n = -50$ (2)

C(4, 2) を代入: $4^2 + 2^2 + 4l + 2m + n = 0$ => $4l + 2m + n = -20$ (3)

(2) - (1): $4l - 8m = -40$ => $l - 2m = -10$ (4)

(3) - (1): $3l - m = -10$ (5)

(5) - 3 * (4): $5m = 20$ => $m = 4$

(4) に代入: $l - 8 = -10$ => $l = -2$

(1) に代入: $-2 + 12 + n = -10$ => $n = -20$

したがって、円の方程式は $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$

これを変形すると $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 1 + 4 + 20 = 25$

中心 $(1, -2)$, 半径 $5$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 - 3x + 5y - 4 = 0$ (または $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{25}{2}$)

(2) $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$ (または $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$)