半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $x + 2y - 5 = 0$ が接するとき、$r$ の値を求める。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $x + 2y - 5 = 0$ が接するとき、$r$ の値を求める。

2. 解き方の手順

円の中心 (0, 0) と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は

$d = \frac{|a \cdot 0 + b \cdot 0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ で表される。

円と直線が接するためには、円の中心と直線の距離が円の半径 $r$ に等しくなければならない。

したがって、

$r = \frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 5|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}$

$r = \frac{|-5|}{\sqrt{1 + 4}}$

$r = \frac{5}{\sqrt{5}}$

$r = \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

$r = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$r = \sqrt{5}$