(1) 円に内接する三角形ABCにおいて、$AB = 10$, $BC = 6$, $\angle B = 120^\circ$である。弦ACに関して点Bと反対側の弧AC上に点Pをとる。 * (1) 辺ACの長さを求めよ。 * (2) 円の半径を求めよ。 * (3) 四角形ABCPの面積の最大値を求めよ。 (2) x軸上を動く点Pがあり、最初は原点の位置にある。1個のサイコロを繰り返し振り、4以下の目が出ると正の向きに1進み、5または6の目が出ると正の向きに2進む。このとき点Pが$x = n$にとまるときの確率を$p_n$とする。ここで、$n$は自然数である。 * (1) $p_1$, $p_2$をそれぞれ求めよ。 * (2) $p_{n+2}$を$p_{n+1}$, $p_n$を用いて表せ。 * (3) $p_n$を求めよ。

はい、承知いたしました。与えられた問題について、順番に解答を説明します。

1. 問題の内容

(1) 円に内接する三角形ABCにおいて、$AB = 10$, $BC = 6$, $\angle B = 120^\circ$である。弦ACに関して点Bと反対側の弧AC上に点Pをとる。

* (1) 辺ACの長さを求めよ。

* (2) 円の半径を求めよ。

* (3) 四角形ABCPの面積の最大値を求めよ。

(2) x軸上を動く点Pがあり、最初は原点の位置にある。1個のサイコロを繰り返し振り、4以下の目が出ると正の向きに1進み、5または6の目が出ると正の向きに2進む。このとき点Pが$x = n$にとまるときの確率を$p_n$とする。ここで、$n$は自然数である。

* (1) $p_1$, $p_2$をそれぞれ求めよ。

* (2) $p_{n+2}$を$p_{n+1}$, $p_n$を用いて表せ。

* (3) $p_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* (1) 辺ACの長さ：余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$。

$AC^2 = 10^2 + 6^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ = 100 + 36 - 120 \cdot (-\frac{1}{2}) = 136 + 60 = 196$。

したがって、$AC = \sqrt{196} = 14$。

* (2) 円の半径：正弦定理より、$\frac{AC}{\sin B} = 2R$。

$2R = \frac{14}{\sin 120^\circ} = \frac{14}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{28}{\sqrt{3}}$。

したがって、$R = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$。

* (3) 四角形ABCPの面積の最大値：四角形ABCPの面積は、$S = \triangle ABC + \triangle APC$。$\triangle ABC$の面積は固定。

$\triangle APC$の面積を最大にするには、点Pが弧ACの中点に来るときに高さが最大になる。

$\triangle ABC = \frac{1}{2}AB \cdot BC \sin B = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \sin 120^\circ = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$。

$\angle APC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$。

$R = \frac{14\sqrt{3}}{3}$. $\triangle APC = \frac{1}{2}AP \cdot PC \cdot \sin \angle APC$. $\angle APC = 60^\circ$.

$AP = PC$ (Pが弧ACの中点のとき). $\angle AOC = 2\angle ABC = 240^\circ$. $\angle AOC / 2 = 120^\circ$.

$AP = 2R\sin 60 = R\sqrt{3} = \frac{14\sqrt{3}\sqrt{3}}{3} = 14$.

$\frac{AP}{\sin 60^\circ}=2R = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

$\triangle APC = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 14 \cdot \sin 60^\circ = 98 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 49\sqrt{3}$。

四角形ABCPの面積の最大値 $= 15\sqrt{3} + 49\sqrt{3} = 64\sqrt{3}$。

(2)

* (1) $p_1$, $p_2$：$p_1$は1が出れば良いので、確率は$p_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。$p_2$は1,1または5,6のどれかが出れば良い。$p_2 = \frac{4}{6}*\frac{4}{6}+\frac{2}{6} = \frac{4}{9}+\frac{1}{3} = \frac{7}{9}$。サイコロを1回振って2が出る確率は$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。

* (2) $p_{n+2}$：点Pが$n+2$に到達するには、$n+1$から1進むか、$n$から2進むかのいずれか。したがって、$p_{n+2} = \frac{4}{6} p_{n+1} + \frac{2}{6} p_n = \frac{2}{3} p_{n+1} + \frac{1}{3} p_n$。

* (3) $p_n$：漸化式を解く。$p_{n+2} - \frac{2}{3} p_{n+1} - \frac{1}{3} p_n = 0$。

特性方程式は、$x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} = 0$。

$3x^2 - 2x - 1 = 0$。

$(3x + 1)(x - 1) = 0$。

$x = 1, -\frac{1}{3}$。

したがって、$p_n = A(1)^n + B(-\frac{1}{3})^n = A + B(-\frac{1}{3})^n$。

$p_1 = A - \frac{1}{3}B = \frac{2}{3}$。

$p_2 = A + \frac{1}{9}B = \frac{7}{9}$。

$p_2 - p_1 = \frac{4}{9}B = \frac{1}{9}$。

$B = \frac{1}{4}$。

$A = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{3} + \frac{1}{12} = \frac{8}{12} + \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$。

したがって、$p_n = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}(-\frac{1}{3})^n$。

3. 最終的な答え

(1)

* (1) $AC = 14$

* (2) $R = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

* (3) $64\sqrt{3}$

(2)

* (1) $p_1 = \frac{2}{3}, p_2 = \frac{7}{9}$

* (2) $p_{n+2} = \frac{2}{3} p_{n+1} + \frac{1}{3} p_n$

* (3) $p_n = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}(-\frac{1}{3})^n$