$0 < \theta < \pi$ を満たす $\theta$ に対して、平面上の3点 A(1, 0), B($\cos\theta$, $\sin\theta$), C($\cos\theta$, $-\sin\theta$) を考える。 (1) $\triangle$ABC の面積 S($\theta$) を求めよ。 (2) S($\theta$) の最大値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$0 < \theta < \pi$ を満たす $\theta$ に対して、平面上の3点 A(1, 0), B($\cos\theta$, $\sin\theta$), C($\cos\theta$, $-\sin\theta$) を考える。

(1) $\triangle$ABC の面積 S($\theta$) を求めよ。

(2) S($\theta$) の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle$ABC の面積 S($\theta$) を求める。

点Bと点Cのy座標はそれぞれ $\sin\theta$ と $-\sin\theta$ なので、線分BCの長さは $2\sin\theta$となる。

線分BCを底辺と考えると、$\triangle$ABCの高さは、点A(1,0) と直線 BC ($x = \cos\theta$) との距離になるので、$1 - \cos\theta$ となる。

したがって、$\triangle$ABC の面積 S($\theta$) は、

$S(\theta) = \frac{1}{2} \times 2\sin\theta \times (1 - \cos\theta) = \sin\theta(1 - \cos\theta)$

(2) S($\theta$) の最大値を求める。

S($\theta$) を微分して、増減表を作成する。

$S'(\theta) = \cos\theta(1 - \cos\theta) + \sin\theta(\sin\theta) = \cos\theta - \cos^2\theta + \sin^2\theta = \cos\theta - \cos^2\theta + (1 - \cos^2\theta) = \cos\theta - 2\cos^2\theta + 1 = -2\cos^2\theta + \cos\theta + 1$

$S'(\theta) = 0$ となる $\theta$ を求める。

$-2\cos^2\theta + \cos\theta + 1 = 0$

$2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$

$(2\cos\theta + 1)(\cos\theta - 1) = 0$

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ または $\cos\theta = 1$

$0 < \theta < \pi$ より、$\cos\theta = 1$ となるのは $\theta=0$ となるが、$\theta$ の範囲に含まれない。

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{2}{3}\pi$

$\theta = \frac{2}{3}\pi$ のとき、

$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$

$S(\frac{2}{3}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}(1 - (-\frac{1}{2})) = \frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{3}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$\theta \rightarrow 0$ のとき、$S(\theta) \rightarrow 0$

$\theta \rightarrow \pi$ のとき、$S(\theta) \rightarrow 0$

したがって、$\theta = \frac{2}{3}\pi$ のとき最大値を取る。

3. 最終的な答え

(1) $S(\theta) = \sin\theta(1 - \cos\theta)$

(2) $\frac{3\sqrt{3}}{4}$