与えられた2つの2次方程式がそれぞれどのような図形を表すか答える問題です。 (1) $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$ (2) $x^2 + y^2 + 6x + 8y + 9 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次方程式がそれぞれどのような図形を表すか答える問題です。

(1) $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$

(2) $x^2 + y^2 + 6x + 8y + 9 = 0$

2. 解き方の手順

円の方程式の一般形は $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ です。ここで、$(a, b)$ は円の中心、 $r$ は半径です。

与えられた方程式をこの形に変形することで、どのような図形を表すか判断します。

平方完成を利用します。

(1) $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) = 4$

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 4 + 4 + 1$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9 = 3^2$

これは、中心 $(-2, 1)$、半径 $3$ の円を表します。

(2) $x^2 + y^2 + 6x + 8y + 9 = 0$

$(x^2 + 6x) + (y^2 + 8y) = -9$

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) = -9 + 9 + 16$

$(x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 16 = 4^2$

これは、中心 $(-3, -4)$、半径 $4$ の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(-2, 1)$、半径 $3$ の円

(2) 中心 $(-3, -4)$、半径 $4$ の円