三角形ABCがあり、頂点A(2,3), B(-1,0), C(3,0) である。 (1) 各頂点から対辺に引いた垂線の交点(垂心)の座標を求める。 (2) 各辺の垂直二等分線の交点(外心)の座標を求める。
2025/7/3
1. 問題の内容
三角形ABCがあり、頂点A(2,3), B(-1,0), C(3,0) である。
(1) 各頂点から対辺に引いた垂線の交点(垂心)の座標を求める。
(2) 各辺の垂直二等分線の交点(外心)の座標を求める。
2. 解き方の手順
(1) 垂心
まず、各辺の傾きを求める。
辺BCの傾き
辺ACの傾き
辺ABの傾き
次に、各頂点から対辺に下ろした垂線の傾きを求める。
AからBCに下ろした垂線の傾きは、BCの傾きが0なので、定義できない(x=定数)。つまり、この垂線は 。
BからACに下ろした垂線の傾きは、ACの傾きの逆数の負符号なので、
CからABに下ろした垂線の傾きは、ABの傾きの逆数の負符号なので、
次に、垂線の式を求める。
AからBCへの垂線は 。
BからACへの垂線は、 つまり 。
CからABへの垂線は、 つまり 。
次に、垂線の交点を求める。
を に代入すると、。 よって、交点は(2,1)。
を に代入すると、。 よって、交点は(2,1)。
(2) 外心
まず、各辺の中点を求める。
辺BCの中点
辺ACの中点
辺ABの中点
次に、各辺の垂直二等分線の傾きを求める。
BCの垂直二等分線の傾きは定義できない(x=定数)。したがって、この垂直二等分線は
ACの垂直二等分線の傾きは
ABの垂直二等分線の傾きは-1
次に、各辺の垂直二等分線の式を求める。
BCの垂直二等分線は
ACの垂直二等分線は つまり
ABの垂直二等分線は つまり
次に、垂直二等分線の交点を求める。
を に代入すると、。 よって、交点は(1,1)。
を に代入すると、。 よって、交点は(1,1)。
3. 最終的な答え
(1) 垂心:(2, 1)
(2) 外心:(1, 1)