三角形ABCがあり、頂点A(2,3), B(-1,0), C(3,0) である。 (1) 各頂点から対辺に引いた垂線の交点(垂心)の座標を求める。 (2) 各辺の垂直二等分線の交点(外心)の座標を求める。

幾何学三角形垂心外心座標傾き
2025/7/3

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、頂点A(2,3), B(-1,0), C(3,0) である。
(1) 各頂点から対辺に引いた垂線の交点(垂心)の座標を求める。
(2) 各辺の垂直二等分線の交点(外心)の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 垂心
まず、各辺の傾きを求める。
辺BCの傾き mBC=003(1)=0m_{BC} = \frac{0-0}{3-(-1)} = 0
辺ACの傾き mAC=3023=3m_{AC} = \frac{3-0}{2-3} = -3
辺ABの傾き mAB=302(1)=1m_{AB} = \frac{3-0}{2-(-1)} = 1
次に、各頂点から対辺に下ろした垂線の傾きを求める。
AからBCに下ろした垂線の傾きは、BCの傾きが0なので、定義できない(x=定数)。つまり、この垂線は x=2x=2
BからACに下ろした垂線の傾きは、ACの傾きの逆数の負符号なので、 mB=13m_{B} = \frac{1}{3}
CからABに下ろした垂線の傾きは、ABの傾きの逆数の負符号なので、 mC=1m_{C} = -1
次に、垂線の式を求める。
AからBCへの垂線は x=2x=2
BからACへの垂線は、y0=13(x(1))y - 0 = \frac{1}{3}(x-(-1)) つまり y=13x+13y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}
CからABへの垂線は、y0=1(x3)y - 0 = -1(x-3) つまり y=x+3y = -x + 3
次に、垂線の交点を求める。
x=2x=2y=13x+13y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} に代入すると、y=13(2)+13=1y = \frac{1}{3}(2) + \frac{1}{3} = 1。 よって、交点は(2,1)。
x=2x=2y=x+3y = -x+3 に代入すると、y=2+3=1y=-2+3 = 1。 よって、交点は(2,1)。
(2) 外心
まず、各辺の中点を求める。
辺BCの中点 MBC=(1+32,0+02)=(1,0)M_{BC} = (\frac{-1+3}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 0)
辺ACの中点 MAC=(2+32,3+02)=(52,32)M_{AC} = (\frac{2+3}{2}, \frac{3+0}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2})
辺ABの中点 MAB=(212,3+02)=(12,32)M_{AB} = (\frac{2-1}{2}, \frac{3+0}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})
次に、各辺の垂直二等分線の傾きを求める。
BCの垂直二等分線の傾きは定義できない(x=定数)。したがって、この垂直二等分線は x=1x=1
ACの垂直二等分線の傾きは13\frac{1}{3}
ABの垂直二等分線の傾きは-1
次に、各辺の垂直二等分線の式を求める。
BCの垂直二等分線は x=1x=1
ACの垂直二等分線は y32=13(x52)y - \frac{3}{2} = \frac{1}{3}(x-\frac{5}{2}) つまり y=13x+23y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}
ABの垂直二等分線は y32=1(x12)y - \frac{3}{2} = -1(x-\frac{1}{2}) つまり y=x+2y = -x + 2
次に、垂直二等分線の交点を求める。
x=1x=1y=13x+23y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} に代入すると、y=13(1)+23=1y = \frac{1}{3}(1) + \frac{2}{3} = 1。 よって、交点は(1,1)。
x=1x=1y=x+2y = -x + 2 に代入すると、y=1+2=1y=-1+2 = 1。 よって、交点は(1,1)。

3. 最終的な答え

(1) 垂心:(2, 1)
(2) 外心:(1, 1)

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