5本の平行線と、それらに直交する5本の平行線が、それぞれ両方とも同じ間隔 $a (a > 0)$ で並んでいる。この10本の直線のうちの4本で囲まれる図形について、以下の問いに答える。 (1) 長方形（正方形を含む）は全部で何個あるか。 (2) 正方形は全部で何個あるか。

1. 問題の内容

5本の平行線と、それらに直交する5本の平行線が、それぞれ両方とも同じ間隔 $a (a > 0)$ で並んでいる。この10本の直線のうちの4本で囲まれる図形について、以下の問いに答える。

(1) 長方形（正方形を含む）は全部で何個あるか。

(2) 正方形は全部で何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 長方形の個数

長方形を作るには、平行な5本の線のうちから2本を選び、直交する平行な5本の線のうちから2本を選べばよい。

平行な5本の線のうちから2本を選ぶ組み合わせは $_5 C_2$ 通り。

直交する平行な5本の線のうちから2本を選ぶ組み合わせも $_5 C_2$ 通り。

したがって、長方形の総数は、

$_5 C_2 \times _5 C_2$ で求められる。

$_5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

よって、長方形の総数は $10 \times 10 = 100$ 個。

(2) 正方形の個数

正方形は、一辺の長さが $a, 2a, 3a, 4a$ のものがある。

一辺の長さが $a$ の正方形は、$4 \times 4 = 16$ 個

一辺の長さが $2a$ の正方形は、$3 \times 3 = 9$ 個

一辺の長さが $3a$ の正方形は、$2 \times 2 = 4$ 個

一辺の長さが $4a$ の正方形は、$1 \times 1 = 1$ 個

したがって、正方形の総数は、$16 + 9 + 4 + 1 = 30$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 長方形は全部で100個。

(2) 正方形は全部で30個。