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2つの円O, O'があり、それぞれの半径は5と2です。直線ABは円O, O'にそれぞれ点A, Bで接しています。2つの円の中心間の距離OO'が9のとき、線分ABの長さを求めよ。

幾何学円接線三平方の定理
2025/7/3

1. 問題の内容

2つの円O, O'があり、それぞれの半径は5と2です。直線ABは円O, O'にそれぞれ点A, Bで接しています。2つの円の中心間の距離OO'が9のとき、線分ABの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点O'から線分OAに垂線を下ろし、その交点をCとします。すると、三角形OO'Cは直角三角形となります。
線分OCの長さは、OA−CA=OA−O′B=5−2=3OA - CA = OA - O'B = 5 - 2 = 3となります。
線分OO'の長さは9です。
したがって、ピタゴラスの定理より、OC2+O′C2=OO′2OC^2 + O'C^2 = OO'^2が成り立ちます。
よって、32+O′C2=923^2 + O'C^2 = 9^2となり、9+O′C2=819 + O'C^2 = 81です。
したがって、O′C2=81−9=72O'C^2 = 81 - 9 = 72です。
O′C=72=36×2=62O'C = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}となります。
線分ABの長さはO'Cの長さに等しいので、AB=62AB = 6\sqrt{2}となります。

3. 最終的な答え

626\sqrt{2}

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