A$(-1, 1)$, B$(4, 16)$を通る直線の傾きは、$\frac{16 - 1}{4 - (-1)} = \frac{15}{5} = 3$ である。 よって、直線ABの方程式は、$y - 1 = 3(x - (-1))$ より、$y = 3x + 4$ となる。

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1. 問題の内容

問題161：点P$(t, t^2)$は、放物線 $y = x^2$ 上の点であり、2点A$(-1, 1)$, B$(4, 16)$の間にある。このとき、三角形APBの面積の最大値を求めよ。

問題162：AB$=6\sqrt{3}$, CA$=9$, $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形ABCがある。点Pは頂点CからAまで辺CA上を毎秒3の速さで進む。点QはPと同時に頂点Bを出発し、頂点Cまで辺BC上を毎秒$\sqrt{3}$の速さで進む。このとき、P, Q間の距離の最小値を求めよ。

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2. 解き方の手順

### 問題161

1. 直線ABの方程式を求める。

A$(-1, 1)$, B$(4, 16)$を通る直線の傾きは、$\frac{16 - 1}{4 - (-1)} = \frac{15}{5} = 3$ である。

よって、直線ABの方程式は、$y - 1 = 3(x - (-1))$ より、$y = 3x + 4$ となる。

2. 点P$(t, t^2)$ と直線ABの距離dを求める。

点$(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離は $\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ で求められる。

直線ABの方程式は、$3x - y + 4 = 0$ と変形できるので、点P$(t, t^2)$ と直線ABの距離dは、

$d = \frac{|3t - t^2 + 4|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|-t^2 + 3t + 4|}{\sqrt{10}} = \frac{|-(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{25}{4}|}{\sqrt{10}}$

3. 三角形APBの面積Sを求める。

三角形APBの面積Sは、$\frac{1}{2} \times AB \times d$ で求められる。

$AB = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (16 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 15^2} = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$

$S = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{10} \times \frac{|-t^2 + 3t + 4|}{\sqrt{10}} = \frac{5}{2} |-t^2 + 3t + 4|$

4. 面積Sが最大になるtの値を求める。

$f(t) = -t^2 + 3t + 4$ とおくと、これは上に凸の放物線である。

A$(-1, 1)$とB$(4, 16)$の間にあるので、$-1 < t < 4$ である。

$f(t) = -(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{25}{4}$

$t = \frac{3}{2}$ のとき、$f(t)$ は最大値 $\frac{25}{4}$ をとる。

5. 面積Sの最大値を求める。

$S_{max} = \frac{5}{2} \times \frac{25}{4} = \frac{125}{8}$

### 問題162

1. BCの長さを求める。

$\triangle ABC$は$\angle C = 90^\circ$の直角三角形なので、三平方の定理より、$AB^2 = AC^2 + BC^2$ が成り立つ。

$(6\sqrt{3})^2 = 9^2 + BC^2$

$108 = 81 + BC^2$

$BC^2 = 27$

$BC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

2. 時間tにおけるP, Qの位置を求める。

PはCからAへ毎秒3の速さで進むので、時間tにおけるCPの長さは $3t$ である。よって、APの長さは $9 - 3t$ である。

QはBからCへ毎秒$\sqrt{3}$の速さで進むので、時間tにおけるBQの長さは $\sqrt{3}t$ である。よって、CQの長さは $3\sqrt{3} - \sqrt{3}t = \sqrt{3}(3-t)$である。

3. P, Q間の距離Lを求める。

$\triangle PCQ$は$\angle C = 90^\circ$の直角三角形なので、三平方の定理より、$PQ^2 = CP^2 + CQ^2$ が成り立つ。

$PQ^2 = (3t)^2 + (\sqrt{3}(3-t))^2 = 9t^2 + 3(9 - 6t + t^2) = 9t^2 + 27 - 18t + 3t^2 = 12t^2 - 18t + 27 = L^2$

4. PQ間の距離Lの最小値を求める。

$L^2 = 12t^2 - 18t + 27 = 12(t^2 - \frac{3}{2}t) + 27 = 12(t - \frac{3}{4})^2 - 12(\frac{9}{16}) + 27 = 12(t - \frac{3}{4})^2 - \frac{27}{4} + \frac{108}{4} = 12(t - \frac{3}{4})^2 + \frac{81}{4}$

$L^2$ は $t = \frac{3}{4}$ のとき最小値 $\frac{81}{4}$ をとる。

このとき、$L = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2}$

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3. 最終的な答え

問題161：$\frac{125}{8}$

問題162：$\frac{9}{2}$