円に内接する四角形ABCDにおいて、線分ABと線分BCの長さが等しく、直線$l$が点Aで円に接しています。$\angle BAL = 30^\circ$のとき、$\angle ABC = \alpha$を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、線分ABと線分BCの長さが等しく、直線$l$が点Aで円に接しています。$\angle BAL = 30^\circ$のとき、$\angle ABC = \alpha$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle BAC$を求めます。AB = BCより、$\triangle ABC$は二等辺三角形であるため、$\angle BAC = \angle BCA$となります。

次に、接弦定理を利用します。直線$l$は点Aで円に接しているので、$\angle BAL = \angle BCA = 30^\circ$となります。

したがって、$\angle BAC = 30^\circ$です。

$\triangle ABC$において、内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ$

$\alpha + 30^\circ + 30^\circ = 180^\circ$

$\alpha + 60^\circ = 180^\circ$

$\alpha = 180^\circ - 60^\circ$

$\alpha = 120^\circ$

3. 最終的な答え

$\alpha = 120^\circ$