平行四辺形ABCDにおいて、辺BCの中点をE、辺CDの中点をFとする。対角線BDとAEの交点をP、対角線BDとAFの交点をQとする。このとき、線分PQとBDの長さの比 $PQ:BD$ を求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCの中点をE、辺CDの中点をFとする。対角線BDとAEの交点をP、対角線BDとAFの交点をQとする。このとき、線分PQとBDの長さの比 $PQ:BD$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$とおく。このとき、

$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{AD} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}$

$\vec{AF} = \vec{AD} + \vec{DF} = \vec{d} + \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{d}$

$\vec{AP} = k\vec{AE} = k(\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d})$

$\vec{AP} = \vec{AB} + l\vec{BD} = \vec{b} + l(\vec{d} - \vec{b}) = (1-l)\vec{b} + l\vec{d}$

ここで、$\vec{b}$と$\vec{d}$は一次独立なので、

$k = 1 - l$

$\frac{1}{2}k = l$

これを解くと、$k = \frac{2}{3}, l = \frac{1}{3}$

したがって、$\vec{AP} = \frac{2}{3}\vec{AE}$ かつ $\vec{AP} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d}$、 $\vec{BP} = \frac{1}{3} \vec{BD}$

同様に、$\vec{AQ} = s\vec{AF} = s(\frac{1}{2}\vec{b} + \vec{d})$

$\vec{AQ} = \vec{AD} + t\vec{DB} = \vec{d} + t(\vec{b} - \vec{d}) = t\vec{b} + (1-t)\vec{d}$

ここで、$\vec{b}$と$\vec{d}$は一次独立なので、

$\frac{1}{2}s = t$

$s = 1 - t$

これを解くと、$s = \frac{2}{3}, t = \frac{1}{3}$

したがって、$\vec{AQ} = \frac{2}{3}\vec{AF}$ かつ $\vec{AQ} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d}$、$\vec{DQ} = \frac{1}{3} \vec{DB}$

$\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP} = (\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d}) - (\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d}) = -\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d} = \frac{1}{3}(\vec{d} - \vec{b}) = -\frac{1}{3}\vec{BD}$

したがって、$|\vec{PQ}| = \frac{1}{3}|\vec{BD}|$なので、$PQ:BD = 1:3$

3. 最終的な答え

$1:3$