三角形ABCにおいて、$AB=6$, $BC=5$, $CA=3$であり、内心をIとする。直線AIと辺BCの交点をDとする。以下の問いに答える。 (1) 線分BDの長さを求めよ。 (2) AI:IDを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=6$, $BC=5$, $CA=3$であり、内心をIとする。直線AIと辺BCの交点をDとする。以下の問いに答える。

(1) 線分BDの長さを求めよ。

(2) AI:IDを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質を利用する。

三角形ABCにおいて、角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとすると、

$BD:DC = AB:AC$

が成り立つ。

今回の問題では、$AB=6$, $AC=3$, $BC=5$であるので、

$BD:DC = 6:3 = 2:1$

よって、$BD = \frac{2}{2+1}BC = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3}$

(2) 三角形の内心Iは、角の二等分線の交点である。

よって、AIは角Aの二等分線であるから、(1)の結果より、$BD = \frac{10}{3}$, $DC = 5 - \frac{10}{3} = \frac{5}{3}$

また、BIは角Bの二等分線である。角Bの二等分線と線分AIとの交点がIとなる。

三角形ABDにおいて、BIは角Bの二等分線であるから、

$AI:ID = BA:BD = 6 : \frac{10}{3} = 18:10 = 9:5$

3. 最終的な答え

(1) $BD = \frac{10}{3}$

(2) $AI:ID = 9:5$