問題は、点Oが三角形ABCの外心であるとき、与えられた図に基づいて角 $\alpha$ と $\beta$ の値を求める問題です。3つの図それぞれについて、$\alpha$ と $\beta$ を求めます。

1. 問題の内容

問題は、点Oが三角形ABCの外心であるとき、与えられた図に基づいて角 $\alpha$ と $\beta$ の値を求める問題です。3つの図それぞれについて、$\alpha$ と $\beta$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

外心の性質より、OA = OB = OC です。

したがって、三角形OABと三角形OACは二等辺三角形です。

三角形OABにおいて、$\angle OAB = 20^\circ$ であるから、$\angle OBA = \angle OAB = 20^\circ$。

よって、$\alpha = 20^\circ$。

三角形OACにおいて、$\angle OCA = 30^\circ$ であるから、$\angle OAC = \angle OCA = 30^\circ$。

よって、$\beta = 30^\circ$。

(2)

三角形OABにおいて、$\angle OBA = 40^\circ$であるから、$\angle OAB = \angle OBA = 40^\circ$。

$\angle BAC = 20^\circ$なので、$\angle OAC = \angle OAB - \angle CAB = 40^\circ - 20^\circ = 20^\circ$。

三角形OACはOA = OCの二等辺三角形なので、$\angle OCA = \angle OAC = 20^\circ$。

三角形ABCにおいて、$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ$。

$40^\circ + (20^\circ + \beta) + 20^\circ = 180^\circ$。

$80^\circ + \beta = 180^\circ$。

$\beta = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$。

(3)

四角形AOBCの内角の和は360度なので、$\angle BOC + \angle OCB + \angle OBA + \angle BAC = 360^{\circ}$

$\angle BAC = 40^{\circ}, \angle OCB = 30^{\circ}, \angle OBA = \alpha$

Oは外心なので、OA = OB = OCである。三角形OABと三角形OACは二等辺三角形。

三角形OABにおいて、$\angle OAB = \angle OBA = \alpha$

三角形OACにおいて、$\angle OAC = \angle OCA = 30^{\circ}$

したがって、$\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = \alpha + 30^{\circ} = 40^{\circ}$。

よって、$\alpha = 40^{\circ} - 30^{\circ} = 10^{\circ}$

また、$\beta = \angle BOC$である.

三角形OBCにおいて、OB = OCであるから、$\angle OBC = \angle OCB = 30^{\circ}$

したがって、$\angle BOC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}$

$\beta = 120^{\circ}$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 20^\circ$, $\beta = 30^\circ$

(2) $\alpha = 40^\circ$, $\beta = 100^\circ$

(3) $\alpha = 10^\circ$, $\beta = 120^\circ$