問題11：方程式 $x^2 + y^2 + 2tx - 4ty + 5t^2 - t = 0$ が円を表すとき、$t$ の値が変化すると円の中心Pはどのような曲線を描くか。 問題12：$a$ は正の定数とする。極方程式 $r^2 = 2a^2 \cos 2\theta$ の表す曲線を、直交座標の $x$, $y$ の方程式で表せ。

1. 問題の内容

問題11：方程式 $x^2 + y^2 + 2tx - 4ty + 5t^2 - t = 0$ が円を表すとき、$t$ の値が変化すると円の中心Pはどのような曲線を描くか。

問題12：$a$ は正の定数とする。極方程式 $r^2 = 2a^2 \cos 2\theta$ の表す曲線を、直交座標の $x$, $y$ の方程式で表せ。

2. 解き方の手順

**問題11**

1. 与えられた方程式を平方完成する。

$x^2 + 2tx + y^2 - 4ty + 5t^2 - t = 0$

$(x^2 + 2tx + t^2) + (y^2 - 4ty + 4t^2) - t^2 - 4t^2 + 5t^2 - t = 0$

$(x + t)^2 + (y - 2t)^2 = t$

2. この方程式は、中心 $(-t, 2t)$、半径 $\sqrt{t}$ の円を表す。円が存在するためには $t > 0$ でなければならない。

3. 円の中心 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、$x = -t$, $y = 2t$ と表せる。

4. $t$ を消去する。$t = -x$ より、$y = 2(-x)$ となる。

5. したがって、$y = -2x$ である。ただし、$t > 0$ より、$x < 0$ である。

**問題12**

1. 極座標と直交座標の関係は、$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$、$r^2 = x^2 + y^2$ である。

2. 与えられた極方程式は $r^2 = 2a^2 \cos 2\theta$ である。

3. $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \frac{x^2}{r^2} - \frac{y^2}{r^2} = \frac{x^2 - y^2}{r^2}$ である。

4. 与えられた方程式に代入すると、$r^2 = 2a^2 \frac{x^2 - y^2}{r^2}$ となる。

5. $r^4 = 2a^2(x^2 - y^2)$ である。

6. $r^2 = x^2 + y^2$ より、$(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2)$ となる。

3. 最終的な答え

問題11：円の中心Pは直線 $y = -2x$ ($x < 0$) を描く。

問題12：直交座標の方程式は $(x^2 + y^2)^2 = 2a^2(x^2 - y^2)$ である。