点 $(3, 1)$ を中心とする半径1の円 $C$ と、直線 $l: y = ax$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 円 $C$ の方程式を求める。 (2) 円 $C$ と直線 $l$ が接するときの $a$ の値を求め、そのときの接点を通り、$l$ に垂直な直線の方程式を求める。 (3) 円 $C$ と直線 $l$ が異なる2点 $A$, $B$ で交わるときの線分 $AB$ の長さを求め、その長さが2となるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

点 $(3, 1)$ を中心とする半径1の円 $C$ と、直線 $l: y = ax$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 円 $C$ の方程式を求める。

(2) 円 $C$ と直線 $l$ が接するときの $a$ の値を求め、そのときの接点を通り、$l$ に垂直な直線の方程式を求める。

(3) 円 $C$ と直線 $l$ が異なる2点 $A$, $B$ で交わるときの線分 $AB$ の長さを求め、その長さが2となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C$ の方程式は、中心 $(3, 1)$、半径1より、

$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1$

展開して整理すると、

$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = 1$

$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 9 = 0$

よって、$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 9 = 0$

(2) 円 $C$ と直線 $l$ が接するとき、円の中心 $(3, 1)$ と直線 $ax - y = 0$ との距離が半径1に等しくなります。

$\frac{|3a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 1$

両辺を2乗して、

$(3a - 1)^2 = a^2 + 1$

$9a^2 - 6a + 1 = a^2 + 1$

$8a^2 - 6a = 0$

$2a(4a - 3) = 0$

$a = 0, \frac{3}{4}$

$a=0$ のとき接点は $(3,0)$. $l$ の傾きは0なので、接線に垂直な直線の傾きは定義できません。

$a=\frac{3}{4}$ のとき、$y = \frac{3}{4}x$ より、$4y = 3x$ となります。

$(x-3)^2 + (y-1)^2 = 1$ に代入して、

$(x-3)^2 + (\frac{3}{4}x - 1)^2 = 1$

$x^2 - 6x + 9 + \frac{9}{16}x^2 - \frac{3}{2}x + 1 = 1$

$16x^2 - 96x + 144 + 9x^2 - 24x + 16 = 16$

$25x^2 - 120x + 144 = 0$

$(5x - 12)^2 = 0$

$x = \frac{12}{5}$

$y = \frac{3}{4} \cdot \frac{12}{5} = \frac{9}{5}$

接点 $(\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ を通り、傾き $-\frac{4}{3}$ の直線の方程式は、

$y - \frac{9}{5} = -\frac{4}{3}(x - \frac{12}{5})$

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{16}{5} + \frac{9}{5}$

$y = -\frac{4}{3}x + 5$

(3) 円 $C$ と直線 $l$ が異なる2点 $A$, $B$ で交わるとき、円の中心 $(3, 1)$ と直線 $ax - y = 0$ との距離 $d$ が半径1より小さくなります。

$d = \frac{|3a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} < 1$

$d^2 = \frac{(3a - 1)^2}{a^2 + 1} < 1$

$9a^2 - 6a + 1 < a^2 + 1$

$8a^2 - 6a < 0$

$2a(4a - 3) < 0$

$0 < a < \frac{3}{4}$

線分 $AB$ の長さは $2\sqrt{1 - d^2}$ です。

$AB = 2\sqrt{1 - \frac{(3a - 1)^2}{a^2 + 1}} = 2\sqrt{\frac{a^2 + 1 - (9a^2 - 6a + 1)}{a^2 + 1}} = 2\sqrt{\frac{-8a^2 + 6a}{a^2 + 1}} = 2\sqrt{\frac{2(3a - 4a^2)}{a^2 + 1}} = 2\sqrt{\frac{2a(3 - 4a)}{a^2 + 1}}$

問題文に、$AB = \sqrt{\frac{36a - 48 a^2}{a^2+1}}$と書いてあるので、

$\sqrt{\frac{36a-48a^2}{a^2+1}}=2 \sqrt{\frac{9a-12a^2}{a^2+1}} = 2$

$\frac{9a-12a^2}{a^2+1}=1$

$9a-12a^2 = a^2+1$

$0 = 13 a^2 - 9 a + 1$

$a= \frac{9\pm\sqrt{81 - 4*13}}{26} = \frac{9 \pm \sqrt{29}}{26}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 - 6x - 2y + 9 = 0$

(2) $a = 0, \frac{3}{4}$

　 $a = \frac{3}{4}$ のとき $y = -\frac{4}{3}x + 5$

(3) $AB = 2\sqrt{\frac{2(3a-4a^2)}{a^2+1}}$

　$a = \frac{9 \pm \sqrt{29}}{26}$

ア:6

イ:2

ウ:9

エ:0

オ:3

カ:4

キク:-4

ケ:3

コ:5

サ:2

シ:3

ス:4

セ:9+ルート29

ソ:26