2次関数 $f(x) = x^2 - 2(2a^2 - 5a)x + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) グラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。 (2) 頂点の $x$ 座標の最小値を求める。 (3) $t=a^2$ とおいたとき、頂点の $y$ 座標を $t$ を用いて表す。 (4) 頂点の $y$ 座標の最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2(2a^2 - 5a)x + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) グラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。

(2) 頂点の $x$ 座標の最小値を求める。

(3) $t=a^2$ とおいたとき、頂点の $y$ 座標を $t$ を用いて表す。

(4) 頂点の $y$ 座標の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

与えられた2次関数を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2(2a^2 - 5a)x + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5$

$f(x) = (x - (2a^2 - 5a))^2 - (2a^2 - 5a)^2 + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5$

$f(x) = (x - (2a^2 - 5a))^2 - (4a^4 - 20a^3 + 25a^2) + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5$

$f(x) = (x - (2a^2 - 5a))^2 + 6a^4 - 40a^3 + 9a^2 + 5$

したがって、頂点の座標は $(2a^2 - 5a, 6a^4 - 40a^3 + 9a^2 + 5)$ である。

ア = 2, イ = 5, ウ = 6, エ = -40, オ = 9

よって、頂点の座標は $(2a^2 - 5a, 6a^4 - 4a^2 + 5)$

(2) 頂点の $x$ 座標の最小値を求める。

頂点の $x$ 座標は $2a^2 - 5a$ である。これを平方完成して最小値を求める。

$2a^2 - 5a = 2(a^2 - \frac{5}{2}a) = 2(a - \frac{5}{4})^2 - 2(\frac{25}{16}) = 2(a - \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{8}$

$a = \frac{5}{4}$ のとき最小値 $-\frac{25}{8}$ をとる。

カキク = -25, ケ = 8

(3) $t = a^2$ とおいたとき、頂点の $y$ 座標を $t$ を用いて表す。

頂点の $y$ 座標は $6a^4 - 4a^2 + 5$ である。$t = a^2$ より、$a^4 = t^2$ なので、

$6t^2 - 4t + 5$

ウ = 6, エ = -4, オ = 5

(4) 頂点の $y$ 座標の最小値を求める。

頂点の $y$ 座標は $6t^2 - 4t + 5$ である。ただし、$t = a^2 \ge 0$ である。

$6t^2 - 4t + 5 = 6(t^2 - \frac{2}{3}t) + 5 = 6(t - \frac{1}{3})^2 - 6(\frac{1}{9}) + 5 = 6(t - \frac{1}{3})^2 - \frac{2}{3} + 5 = 6(t - \frac{1}{3})^2 + \frac{13}{3}$

$t = \frac{1}{3}$ のとき最小値 $\frac{13}{3}$ をとる。$t \ge 0$ なので、$t = \frac{1}{3}$ は条件を満たす。

コ = 13/3

3. 最終的な答え

ア = 2, イ = 5, ウ = 6, エ = -4, オ = 5

カキク = -25, ケ = 8

コ = 13/3