与えられた式を簡単にせよという問題です。 (1) $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ (2) $\sqrt{10-2\sqrt{21}}$ (3) $\sqrt{12-\sqrt{140}}$ (4) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ (5) $\sqrt{9-\sqrt{72}}$ (6) $\sqrt{9-\sqrt{77}}$

1. 問題の内容

与えられた式を簡単にせよという問題です。

(1) $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$

(2) $\sqrt{10-2\sqrt{21}}$

(3) $\sqrt{12-\sqrt{140}}$

(4) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

(5) $\sqrt{9-\sqrt{72}}$

(6) $\sqrt{9-\sqrt{77}}$

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。$\sqrt{a \pm \sqrt{b}}$ の形を $\sqrt{x} \pm \sqrt{y}$ の形に変形することを目標とします。

一般に、

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = |\sqrt{a}-\sqrt{b}|$

(1) $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$

$5=2+3$, $6=2\times3$ より、

$\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{2+3+2\sqrt{2\times3}} = \sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2} = \sqrt{2}+\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{10-2\sqrt{21}}$

$10=3+7$, $21=3\times7$ より、

$\sqrt{10-2\sqrt{21}} = \sqrt{3+7-2\sqrt{3\times7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{7}-\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{12-\sqrt{140}}$

$\sqrt{140}=\sqrt{4\times35}=2\sqrt{35}$ より、

$\sqrt{12-\sqrt{140}}=\sqrt{12-2\sqrt{35}}$

$12=5+7$, $35=5\times7$ より、

$\sqrt{12-2\sqrt{35}} = \sqrt{5+7-2\sqrt{5\times7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2} = \sqrt{7}-\sqrt{5}$

(4) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

$4=1+3$, $3=1\times3$ より、

$\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{1+3+2\sqrt{1\times3}} = \sqrt{(\sqrt{1}+\sqrt{3})^2} = 1+\sqrt{3}$

(5) $\sqrt{9-\sqrt{72}}$

$\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}=2\sqrt{18}$ より、

$\sqrt{9-\sqrt{72}}=\sqrt{9-2\sqrt{18}}$

$9=6+3$, $18=6\times3$ より、

$\sqrt{9-2\sqrt{18}} = \sqrt{6+3-2\sqrt{6\times3}} = \sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{6}-\sqrt{3}$

(6) $\sqrt{9-\sqrt{77}}$

$\sqrt{9-\sqrt{77}} = \sqrt{\frac{18-2\sqrt{77}}{2}} = \sqrt{\frac{11+7-2\sqrt{11\times7}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{11}-\sqrt{7})^2}{2}} = \frac{\sqrt{11}-\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{22}-\sqrt{14}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}+\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{7}-\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{7}-\sqrt{5}$

(4) $\sqrt{3}+1$

(5) $\sqrt{6}-\sqrt{3}$

(6) $\frac{\sqrt{22}-\sqrt{14}}{2}$