2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$) の2つの解が $\alpha = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$、$\beta = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ であるとき、以下の問いに答える。 (1) $\frac{c}{a}$ を求めよ。 (2) $a = 2$ のとき、もとの2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$) の2つの解が $\alpha = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$、$\beta = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ であるとき、以下の問いに答える。

(1) $\frac{c}{a}$ を求めよ。

(2) $a = 2$ のとき、もとの2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 解と係数の関係より、$\alpha \beta = \frac{c}{a}$ である。

よって、$\frac{c}{a}$ を求めるには、$\alpha \beta$ を計算すればよい。

$\alpha \beta = \frac{1+\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1-\sqrt{3}}{2}$

$\alpha \beta = \frac{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{4}$

$\alpha \beta = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

したがって、$\frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$ である。

(2) 解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ である。

$\alpha + \beta = \frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{1-\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} = 1$

したがって、 $-\frac{b}{a} = 1$ である。

$a = 2$ のとき、$-\frac{b}{2} = 1$ より、$b = -2$ である。

また、(1)より、$\frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$ であり、$a = 2$ なので、$\frac{c}{2} = -\frac{1}{2}$ より、$c = -1$ である。

したがって、もとの2次方程式は $2x^2 - 2x - 1 = 0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$

(2) $2x^2 - 2x - 1 = 0$