立方体の6つの面に、青、白、赤、黄、紫、緑の6色をそれぞれ1面ずつ塗る。ただし、立方体を回転させたときに色の配置が同じになるものは同じ塗り方とみなす。異なる塗り方は何通りあるか？

1. 問題の内容

立方体の6つの面に、青、白、赤、黄、紫、緑の6色をそれぞれ1面ずつ塗る。ただし、立方体を回転させたときに色の配置が同じになるものは同じ塗り方とみなす。異なる塗り方は何通りあるか？

2. 解き方の手順

まず、立方体を固定しない場合、6つの面に6色を塗る塗り方は $6!$ 通りである。しかし、立方体の回転によって同じ塗り方が複数回カウントされているため、回転による重複を考慮する必要がある。

立方体をある面を下にしたとき、上面を固定すると、側面は4通りの回転が可能である。

立方体の回転群の位数は24である。

立方体の回転操作の数を数えることを考える。

- ある1つの面を底面として固定する。このとき、上面は残り5つの色のうちどれかである。

- 上面の色が決まると、側面の4色は円順列となる。

- 円順列の数は $(4-1)! = 3! = 6$ 通りである。

したがって、立方体の塗り方の総数は

$5 \times 3! = 5 \times 6 = 30$ 通りとなる。

別の考え方として、群論的な考え方を用いる。6色すべて異なる色なので、回転対称性を考慮すると、

$\frac{6!}{24} = \frac{720}{24} = 30$ 通りとなる。

3. 最終的な答え

30通り