平行四辺形ABCDにおいて、対角線BDを3等分する点をBに近い方からE,Fとする。$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$ とするとき、以下の問に答える。 (1) $\overrightarrow{AE}$ を $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ で表せ。 (2) 四角形 AECF が平行四辺形であることを示せ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線BDを3等分する点をBに近い方からE,Fとする。$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$ とするとき、以下の問に答える。

(1) $\overrightarrow{AE}$ を $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ で表せ。

(2) 四角形 AECF が平行四辺形であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1)

$\overrightarrow{AE}$ を $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ で表すために、$\overrightarrow{AE}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AD}$ で表すことを考える。

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}$

$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$

平行四辺形ABCDにおいて、$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$

よって、$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b} - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} = \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

(2)

四角形 AECF が平行四辺形であることを示すには、$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{FC}$ を示す必要がある。

$\overrightarrow{FC} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BF}$

平行四辺形ABCDにおいて、$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{BF} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BD} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$

$\overrightarrow{FC} = \overrightarrow{b} - \frac{2}{3}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = \overrightarrow{b} - \frac{2}{3}\overrightarrow{b} + \frac{2}{3}\overrightarrow{a} = \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

よって、$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{FC}$ が成り立つので、四角形 AECF は平行四辺形である。

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

(2) 四角形AECFは平行四辺形である。