楕円 $4x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -x + k$ が異なる2点Q, Rで交わるとき、線分QRの中点Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

楕円 $4x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -x + k$ が異なる2点Q, Rで交わるとき、線分QRの中点Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 楕円と直線の式を連立させて、$x$の2次方程式を導出します。

$4x^2 + (-x+k)^2 = 4$

$4x^2 + x^2 - 2kx + k^2 = 4$

$5x^2 - 2kx + k^2 - 4 = 0$

(2) 異なる2点で交わる条件は、この2次方程式の判別式が正であることです。判別式を$D$とすると、

$D/4 = (-k)^2 - 5(k^2 - 4) = k^2 - 5k^2 + 20 = -4k^2 + 20 > 0$

$4k^2 < 20$

$k^2 < 5$

$-\sqrt{5} < k < \sqrt{5}$

(3) 2点Q, Rのx座標をそれぞれ$x_1, x_2$とすると、中点Pのx座標は$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$です。

2次方程式の解と係数の関係より、$x_1 + x_2 = \frac{2k}{5}$なので、

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{2k}{5} = \frac{k}{5}$

(4) 中点Pのy座標を$y$とすると、$y = -x + k$より、

$y = -\frac{k}{5} + k = \frac{4k}{5}$

(5) $x = \frac{k}{5}$より、$k = 5x$です。これを$y = \frac{4k}{5}$に代入すると、

$y = \frac{4(5x)}{5} = 4x$

(6) $k$の範囲は$-\sqrt{5} < k < \sqrt{5}$なので、$x = \frac{k}{5}$より、

$-\frac{\sqrt{5}}{5} < x < \frac{\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

したがって、求める軌跡は直線 $y = 4x$ の $-\frac{\sqrt{5}}{5} < x < \frac{\sqrt{5}}{5}$ の範囲です。