問題は多項式の割り算の余りを求める問題です。多項式 $P(x) = ax^3 + bx^2 + 3x - 5$ があり、$x-2$ で割った余りが $5$ で、$x+3$ で割った余りが $-50$ であるとき、定数 $a$, $b$ の値を求めます。

## 問題の回答

1. 問題の内容

問題は多項式の割り算の余りを求める問題です。多項式 $P(x) = ax^3 + bx^2 + 3x - 5$ があり、$x-2$ で割った余りが $5$ で、$x+3$ で割った余りが $-50$ であるとき、定数 $a$, $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

剰余の定理を利用します。剰余の定理とは、多項式 $P(x)$ を $x-c$ で割った余りは $P(c)$ に等しいという定理です。

* $P(x)$ を $x-2$ で割った余りが $5$ であることから、$P(2) = 5$ が成り立ちます。したがって、

$a(2)^3 + b(2)^2 + 3(2) - 5 = 5$

$8a + 4b + 6 - 5 = 5$

$8a + 4b = 4$

$2a + b = 1$ ...(1)

* $P(x)$ を $x+3$ で割った余りが $-50$ であることから、$P(-3) = -50$ が成り立ちます。したがって、

$a(-3)^3 + b(-3)^2 + 3(-3) - 5 = -50$

$-27a + 9b - 9 - 5 = -50$

$-27a + 9b = -36$

$-3a + b = -4$ ...(2)

(1), (2) の連立方程式を解きます。

(1) - (2) より、

$2a + b - (-3a + b) = 1 - (-4)$

$5a = 5$

$a = 1$

$a = 1$ を (1) に代入すると、

$2(1) + b = 1$

$2 + b = 1$

$b = -1$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = -1$