## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた画像にある6つの問題のうち、以下の問題を解きます。

(1) 6種類の乗り物があり、3人がそれぞれ異なる乗り物に乗るとき、乗り物の選び方は何通りあるか。

(2) "mississippi" の11文字をすべて使って文字列を作るとき、文字列は何個作れるか。

(3) 8人から3人を選んで1列に並べるとき、並べ方の総数を求めよ。

(4) 大人3人と子ども5人が1列に並ぶとき、大人3人が続いて並ぶような並び方は何通りあるか。

(5) 10人の大人、8人の子どもの中から大人、子どもをそれぞれ2人ずつ選んで4人の組を作るとき、何通りの組が作れるか。

(6) 大人3人と子ども3人が輪の形に並ぶとき、大人と子どもが交互に並ぶような並び方は何通りあるか。

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2. 解き方の手順

(1) 乗り物の選び方

* 1人目は6種類の乗り物から選べる。

* 2人目は残りの5種類の乗り物から選べる。

* 3人目は残りの4種類の乗り物から選べる。

したがって、選び方の総数は順列で計算でき、$6P3$となる。

$6P3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$

(2) "mississippi" の文字列

* "mississippi" の文字数は11文字

* 内訳：'m': 1個, 'i': 4個, 's': 4個, 'p': 2個

同じ文字がなければ11!通りの文字列ができるが、同じ文字があるので、それらの並び順の重複をなくす必要がある。したがって、多項係数を用いて計算する。

$\frac{11!}{1!4!4!2!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)}$

$= \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2} = 11 \times 10 \times 9 \times 7 \times 5 = 34650$

(3) 8人から3人を選んで並べる

* 8人から3人を選ぶ順列を計算する。

* これは $8P3$ で表される。

$8P3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$

(4) 大人が続く並び方

* 大人3人を1つのグループとして考える。

* このグループと子ども5人の合計6つのものを並べる。

* 並べ方は $6!$ 通り。

* 大人のグループ内での並び方は $3!$ 通り。

したがって、$6! \times 3!$を計算する。

$6! \times 3! = (6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) = 720 \times 6 = 4320$

(5) 大人と子供の選び方

* 10人の大人から2人を選ぶ組み合わせは $_{10}C_2$ 通り。

* 8人の子供から2人を選ぶ組み合わせは $_8C_2$ 通り。

それぞれの組み合わせの積が求める組み合わせの数。

$_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

$_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

$45 \times 28 = 1260$

(6) 円順列で大人と子供が交互に並ぶ

* まず大人3人を円形に並べる。円順列なので $(3-1)! = 2! = 2$ 通り。

* 次に子供を大人の間に並べる。子供の並び方は $3! = 6$ 通り。

したがって、 $2 \times 6 = 12$

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3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 34650個

(3) 336通り

(4) 4320通り

(5) 1260通り

(6) 12通り