(1) $S = \frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + \frac{1}{10\cdot13} + \cdots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ の和を求めよ。 (2) $S = 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \cdots + \frac{1}{1+2+3+\cdots+n}$ の和を求めよ。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

(1) $S = \frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + \frac{1}{10\cdot13} + \cdots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ の和を求めよ。

(2) $S = 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \cdots + \frac{1}{1+2+3+\cdots+n}$ の和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

この数列は、部分分数分解を利用して解くことができます。

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ を部分分数に分解すると、

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{A}{3n-2} + \frac{B}{3n+1}$

となります。これを計算すると、

$1 = A(3n+1) + B(3n-2)$

$1 = (3A+3B)n + (A-2B)$

したがって、$3A+3B = 0$ かつ $A-2B = 1$ です。

$A = -B$ なので、$-B - 2B = 1$ となり、$-3B = 1$ つまり $B = -\frac{1}{3}$ であり、$A = \frac{1}{3}$ です。

よって、

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\right)$

と表せます。

したがって、数列の和は

$S = \frac{1}{3} \left[\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{10}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\right)\right]$

$S = \frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{3n+1}\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{3n+1-1}{3n+1}\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{3n}{3n+1}\right) = \frac{n}{3n+1}$

(2)

$1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$ であるから、

$S = 1 + \frac{1}{\frac{1\cdot2}{2}} + \frac{1}{\frac{2\cdot3}{2}} + \cdots + \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}$

$S = 1 + \frac{2}{1\cdot2} + \frac{2}{2\cdot3} + \cdots + \frac{2}{n(n+1)}$

$S = 1 + 2\left(\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}\right)$

$S = 1 + 2\left[\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)\right]$

$S = 1 + 2\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)$

$S = 1 + 2\left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)$

$S = 1 + 2\left(\frac{n}{n+1}\right) = \frac{n+1+2n}{n+1} = \frac{3n+1}{n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n}{3n+1}$

(2) $\frac{3n+1}{n+1}$