箱の中に「あ」「い」「う」「え」の4種類の玉がそれぞれ1つずつ入っている。この箱から玉を1つ取り出し、色を確認してから箱に戻す、という試行を $m$ 回繰り返す。取り出した玉の色の種類の数を $n$ とする。 (1) $m=4$ となる確率を求めよ。 (2) $mn=6$ となる確率を求めよ。 (3) $mn$ の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

箱の中に「あ」「い」「う」「え」の4種類の玉がそれぞれ1つずつ入っている。この箱から玉を1つ取り出し、色を確認してから箱に戻す、という試行を $m$ 回繰り返す。取り出した玉の色の種類の数を $n$ とする。

(1) $m=4$ となる確率を求めよ。

(2) $mn=6$ となる確率を求めよ。

(3) $mn$ の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $m=4$ の場合、常に同じ種類の玉を取り出すとき、$n=1$ となる。異なる種類の玉が取り出されるとき、$n > 1$ となる。$m=4$ なので、求める確率は $n=1$ の確率になる。

4回とも同じ玉を取り出す確率は、

$\frac{4}{4^4} = \frac{1}{64}$

(2) $mn = 6$ となる場合を考える。$m$ 回試行を行うので、$n = \frac{6}{m}$ となる。$n$ は自然数であるから、$m$ は 6 の約数である。つまり、$m$ は1, 2, 3, 6 のいずれかである。

- $m=1$ のとき、$n=6$ となるが、ありえない。

- $m=2$ のとき、$n=3$ となる。2回の試行で3種類の玉が出ることはないので、ありえない。

- $m=3$ のとき、$n=2$ となる。3回の試行で2種類の玉が出る確率を求める。

2種類の玉の選び方は $_4C_2 = 6$ 通り。

出方の総数は $4^3 = 64$ 通り。

2種類の玉が毎回出る場合の数は $2^3 = 8$ 通り。

同じ種類の玉しか出ない場合を引くと $8 - 2 = 6$

2種類の玉が少なくとも1回は出る場合の数は、$8-2=6$ 通り。

$2^3 - 2 = 6$通り。

ただし、$2^3=8$で重複してカウントされているものを引く。

$2^3=8$から1種類の玉だけが出る2通りを引くと、2種類出るのは$8-2 = 6$通り。

3回の試行で2種類の玉が出る確率は $6 \times 6 / 4^3 = 36/64 = 9/16$。

- $m=6$ のとき、$n=1$ となる。6回の試行で1種類の玉が出る確率を求める。

$\frac{4}{4^6} = \frac{1}{4^5} = \frac{1}{1024}$

$mn=6$ となる確率は、

$\frac{9}{16} + \frac{1}{1024} = \frac{576+1}{1024} = \frac{577}{1024}$

(3) $mn$ の期待値を求める。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{64}$

(2) $\frac{577}{1024}$

(3) 計算中