"YOKOHAMA"の8文字を1列に並べる。 (1) OとAが必ず偶数番目にある並べ方は何通りあるか。 (2) Y, K, H, Mがこの順にある並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

"YOKOHAMA"の8文字を1列に並べる。

(1) OとAが必ず偶数番目にある並べ方は何通りあるか。

(2) Y, K, H, Mがこの順にある並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

"YOKOHAMA"の8文字を並べる。偶数番目の位置は2, 4, 6, 8番目の4箇所。Oは1つ、Aは2つある。

まず、2つのAと1つのOを偶数番目に配置する方法を考える。

偶数番目の4箇所から3箇所を選ぶ組み合わせは $_4C_3 = 4$通り。

選んだ3箇所にOとA, Aを並べる方法は、O, A, Aの並び順を考慮すると$\frac{3!}{2!} = 3$通り。

よって、OとAを偶数番目に配置する方法は$4 \times 3 = 12$通り。

残りの5文字(Y, K, H, M, A)を、残りの5箇所に並べる方法は$5! = 120$通り。

したがって、OとAが必ず偶数番目にある並べ方は、$12 \times 120 = 1440$通り。

(2)

Y, K, H, Mを同じ文字□とみなし、□, □, □, □, O, O, A, A の8文字を並べる。

同じものを含む順列の公式より、並べ方は $\frac{8!}{4!2!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 2} = 840$通り。

並べた後、左から順に□をY, K, H, Mに置き換える。

したがって、Y, K, H, Mがこの順にある並べ方は、840通り。

3. 最終的な答え

(1) 1440通り

(2) 840通り