袋の中に赤玉が3個、白玉が2個入っている。この中から3個の玉を同時に取り出すとき、取り出した赤玉の個数を確率変数 $X$ とする。確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が3個、白玉が2個入っている。この中から3個の玉を同時に取り出すとき、取り出した赤玉の個数を確率変数 $X$ とする。確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $X$ の取りうる値を考える。3個の玉を取り出すとき、赤玉の個数は0個、1個、2個、3個のいずれかである。しかし、袋の中に白玉が2個しかないため、赤玉を3個取り出すことは可能である。白玉を3個取り出すことは不可能である。したがって、$X$ の取りうる値は1, 2, 3である。問題文にはX=2とX=3の場合が書かれている。X=1の場合を考える。

次に、それぞれの確率を計算する。全部で5個の玉から3個を取り出す組み合わせの総数は、

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通り。

* $X = 1$ のとき (赤玉1個、白玉2個)：赤玉の選び方は $_{3}C_{1} = 3$ 通り、白玉の選び方は $_{2}C_{2} = 1$ 通り。したがって、確率は

$P(X = 1) = \frac{_{3}C_{1} \times _{2}C_{2}}{_{5}C_{3}} = \frac{3 \times 1}{10} = \frac{3}{10}$。

* $X = 2$ のとき (赤玉2個、白玉1個)：赤玉の選び方は $_{3}C_{2} = 3$ 通り、白玉の選び方は $_{2}C_{1} = 2$ 通り。したがって、確率は

$P(X = 2) = \frac{_{3}C_{2} \times _{2}C_{1}}{_{5}C_{3}} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。

* $X = 3$ のとき (赤玉3個、白玉0個)：赤玉の選び方は $_{3}C_{3} = 1$ 通り、白玉の選び方は $_{2}C_{0} = 1$ 通り。したがって、確率は

$P(X = 3) = \frac{_{3}C_{3} \times _{2}C_{0}}{_{5}C_{3}} = \frac{1 \times 1}{10} = \frac{1}{10}$。

最後に、期待値を計算する。

$E(X) = 1 \times P(X = 1) + 2 \times P(X = 2) + 3 \times P(X = 3)$

$E(X) = 1 \times \frac{3}{10} + 2 \times \frac{6}{10} + 3 \times \frac{1}{10} = \frac{3}{10} + \frac{12}{10} + \frac{3}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5} = 1.8$

3. 最終的な答え

確率変数Xの期待値は、$\frac{9}{5}$または1.8です。