大中小3個のさいころを投げるとき、以下の問いに答えよ。 (1) 目の和が偶数になる場合は何通りあるか。 (3) 目の積が3の倍数になる場合は何通りあるか。 (4) 目の積が4の倍数になる場合は何通りあるか。

1. 問題の内容

大中小3個のさいころを投げるとき、以下の問いに答えよ。

(1) 目の和が偶数になる場合は何通りあるか。

(3) 目の積が3の倍数になる場合は何通りあるか。

(4) 目の積が4の倍数になる場合は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 目の和が偶数になる場合

目の和が偶数になるのは、以下の2つの場合です。

* 3つとも偶数

* 偶数1つと奇数2つ

それぞれの目の出方は以下の通りです。

* 3つとも偶数の場合: $3 \times 3 \times 3 = 27$ 通り

* 偶数1つと奇数2つの場合: 偶数の位置は3通り、それぞれの目の出方は $3 \times 3 \times 3 = 27$ 通りなので、合計 $3 \times 27 = 81$ 通り

したがって、目の和が偶数になる場合は $27 + 81 = 108$ 通りです。

しかし、問題には解答として$2187$と書いてあるので、これは計算が間違っている可能性があります。

3つのサイコロの目の出方は$6\times6\times6 = 216$通りです。

目の和が奇数になる場合と偶数になる場合が同じなので、目の和が偶数になるのは$216/2 = 108$通りです。

(3) 目の積が3の倍数になる場合

少なくとも1つのサイコロの目が3か6であれば、目の積は3の倍数になります。

3つのサイコロの目がすべて3の倍数でない場合の数を求め、全体から引くことで求めます。

3の倍数でない目は1,2,4,5なので、その場合の数は $4 \times 4 \times 4 = 64$通りです。

すべての目の出方は $6 \times 6 \times 6 = 216$通りなので、目の積が3の倍数になる場合は $216 - 64 = 152$通りです。

しかし、問題には$11664$と書いてあるので、これは間違っています。

(4) 目の積が4の倍数になる場合

目の積が4の倍数になるのは、以下のいずれかの場合です。

* 少なくとも1つのサイコロの目が4

* 少なくとも2つのサイコロの目が偶数（2,6）

これらの場合をそれぞれ計算すると複雑になるので、目の積が4の倍数にならない場合を考え、全体から引くことで求めます。

目の積が4の倍数にならないのは、以下のいずれかの場合です。

* すべての目が奇数

* 奇数2つと2または6が1つ

* 奇数2つと2または6が1つ

* 奇数1つと2が2つ

* 奇数1つと6が2つ

これらの場合をそれぞれ計算します。

* すべての目が奇数の場合：$3 \times 3 \times 3 = 27$通り

* 奇数2つと2または6が1つの場合：奇数が2つの位置の選び方が3通り、奇数は3通り、2または6は2通りなので、$3 \times 3 \times 3 \times 2 = 54$通り

したがって、目の積が4の倍数にならないのは$27 + 54=81$通りです。

すべての目の出方は $6 \times 6 \times 6 = 216$通りなので、目の積が4の倍数になる場合は $216 - 81 = 135$通りです。

問題には$1296$と書いてあるので、これは間違っています。

3. 最終的な答え

(1) 目の和が偶数になる場合は 108 通り。

(3) 目の積が3の倍数になる場合は 152 通り。

(4) 目の積が4の倍数になる場合は 135 通り。