大中小3つのサイコロを同時に投げる問題について、以下の問いに答える。 (1) 3個の目が全て異なる場合の数を求める。 (2) 少なくとも2個の目が同じになる場合の数を求める。 (3) 目の和が8になる場合の数を求める。 (4) 目の積が24になる場合の数を求める。

1. 問題の内容

大中小3つのサイコロを同時に投げる問題について、以下の問いに答える。

(1) 3個の目が全て異なる場合の数を求める。

(2) 少なくとも2個の目が同じになる場合の数を求める。

(3) 目の和が8になる場合の数を求める。

(4) 目の積が24になる場合の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 3個の目が全て異なる場合

まず、3個のサイコロの目の出方は全部で $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通りある。

3個のサイコロの目が全て異なる場合は、1つ目のサイコロは6通りの目が出ることができ、2つ目のサイコロは1つ目のサイコロと異なる5通りの目が出ることができ、3つ目のサイコロは1つ目と2つ目のサイコロと異なる4通りの目が出ることができる。

したがって、3個の目が全て異なる場合は $6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

(2) 少なくとも2個の目が同じ場合

3個のサイコロの目の出方は全部で $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通りある。

3個の目が全て異なる場合は(1)より120通り。

少なくとも2個の目が同じ場合は、全ての出方から3個の目が全て異なる場合を除いたもの。

よって、$216 - 120 = 96$ 通り。

または

3個のサイコロの目が全て同じ場合が6通り。

2個の目が同じ場合は、$6 \times 5 \times 3$（同じ目の選び方6通り、残りの目の選び方5通り、同じ目のサイコロの場所の選び方3通り）。3個のサイコロの目が全て同じ場合と重複するものを除くと、$6 \times 5 \times 3 = 90$通り。

$6 + 90 = 96$通り。

もう一つの解き方：

少なくとも2個の目が同じであるということは、「2個の目が同じ場合」と「3個の目が同じ場合」に分けられます。

2個の目が同じ場合：同じ目を出すサイコロの組み合わせは3通りあり、その目は6通りあります。残りのサイコロの目は、同じ目ではない5通りです。よって、$3 \times 6 \times 5 = 90$通り。

3個の目が同じ場合：3個の目が全て同じになるのは6通りです。

したがって、少なくとも2個の目が同じになるのは、$90 + 6 = 96$通り。

(3) 目の和が8になる場合

大中小のサイコロの目をそれぞれx, y, zとすると、x + y + z = 8となる組み合わせを考える。ただし、$1 \leq x, y, z \leq 6$。

(1, 1, 6)とその順列：3通り

(1, 2, 5)とその順列：6通り

(1, 3, 4)とその順列：6通り

(2, 2, 4)とその順列：3通り

(2, 3, 3)とその順列：3通り

したがって、合計で $3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21$ 通り。

(4) 目の積が24になる場合

大中小のサイコロの目をそれぞれx, y, zとすると、x * y * z = 24となる組み合わせを考える。ただし、$1 \leq x, y, z \leq 6$。

(1, 4, 6)とその順列：6通り

(2, 3, 4)とその順列：6通り

(2, 2, 6)とその順列：3通り

したがって、合計で $6 + 6 + 3 = 15$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 96通り

(3) 21通り

(4) 15通り