8本のくじの中に2本の当たりくじがある。この中から同時に2本のくじを引くとき、引いたくじに含まれる当たりくじの本数を確率変数 $X$ とする。$X$ の確率分布を求める。

1. 問題の内容

8本のくじの中に2本の当たりくじがある。この中から同時に2本のくじを引くとき、引いたくじに含まれる当たりくじの本数を確率変数 $X$ とする。$X$ の確率分布を求める。

2. 解き方の手順

確率変数 $X$ は、0, 1, 2 のいずれかの値をとる。それぞれの確率を計算する。

* $X=0$ (2本ともはずれ)の確率:

8本のうち当たりくじが2本なので、はずれくじは6本。6本の中から2本を選ぶ組み合わせの数を、8本の中から2本を選ぶ組み合わせの数で割ると、

$P(X=0) = \frac{{}_6C_2}{{}_8C_2} = \frac{\frac{6 \times 5}{2 \times 1}}{\frac{8 \times 7}{2 \times 1}} = \frac{15}{28}$

* $X=1$ (当たりくじ1本、はずれくじ1本)の確率:

当たりくじ2本の中から1本選び、はずれくじ6本の中から1本を選ぶ組み合わせの数を、8本の中から2本を選ぶ組み合わせの数で割ると、

$P(X=1) = \frac{{}_2C_1 \times {}_6C_1}{{}_8C_2} = \frac{2 \times 6}{\frac{8 \times 7}{2 \times 1}} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}$

* $X=2$ (2本とも当たり)の確率:

当たりくじ2本の中から2本を選ぶ組み合わせの数を、8本の中から2本を選ぶ組み合わせの数で割ると、

$P(X=2) = \frac{{}_2C_2}{{}_8C_2} = \frac{1}{\frac{8 \times 7}{2 \times 1}} = \frac{1}{28}$

確率分布は以下の表で表される。

| X | 0 | 1 | 2 |

|---|---|---|---|

| P | 15/28 | 12/28 | 1/28 |

3. 最終的な答え

確率変数 $X$ の確率分布は以下の通り。

$P(X=0) = \frac{15}{28}$

$P(X=1) = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}$

$P(X=2) = \frac{1}{28}$

| X | 0 | 1 | 2 |

|---|---|---|---|

| P | 15/28 | 3/7 | 1/28 |