海外旅行者100人のうち、かぜ薬を携帯している人が75人、胃薬を携帯している人が80人います。 (1) かぜ薬と胃薬の両方を携帯している人の最大人数と最小人数を求めます。 (2) かぜ薬と胃薬の両方を携帯していない人の最大人数を求めます。

以下に、問題5を解きます。

1. 問題の内容

海外旅行者100人のうち、かぜ薬を携帯している人が75人、胃薬を携帯している人が80人います。

(1) かぜ薬と胃薬の両方を携帯している人の最大人数と最小人数を求めます。

(2) かぜ薬と胃薬の両方を携帯していない人の最大人数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 最大人数：

かぜ薬を携帯している人が75人、胃薬を携帯している人が80人なので、両方を持っている人の最大人数は、少ない方の人数である75人となります。

最小人数：

かぜ薬を携帯している人の数をA、胃薬を携帯している人の数をBとします。

全体の人数をUとすると、

$n(U) = 100$

$n(A) = 75$

$n(B) = 80$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) \le n(U) = 100$

$75 + 80 - n(A \cap B) \le 100$

$155 - n(A \cap B) \le 100$

$55 \le n(A \cap B)$

したがって、かぜ薬と胃薬の両方を携帯している人の最小人数は55人です。

(2) 両方とも携帯していない人の最大人数：

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cap B) \ge 55$ であったので、$n(A \cup B) \le 75 + 80 - 55 = 100$

両方とも携帯していない人の数は $n(U) - n(A \cup B)$ で表され、

$n(U) - n(A \cup B) \ge 100 - 100 = 0$

$n(U) - n(A \cup B) = n(A^c \cap B^c)$

$n(A^c \cap B^c)$ の最大値は、$n(A \cup B)$ の最小値に対応します。

$n(A \cup B)$ の最小値は、$n(A) = 75$ または $n(B) = 80$ のどちらか大きい方で決まります。

$n(A \cup B) \ge 80$

したがって、$n(A^c \cap B^c) = n(U) - n(A \cup B) \le 100 - 80 = 20$

3. 最終的な答え

(1) かぜ薬と胃薬の両方を携帯している人の最大人数は75人、最小人数は55人です。

(2) かぜ薬と胃薬の両方を携帯していない人の最大人数は20人です。