「YOKOHAMA」の8文字を1列に並べる場合の数について、以下の2つの条件を満たす場合の数をそれぞれ求めます。 (1) OとAが必ず偶数番目にあるものの数。 (2) Y, K, H, Mがこの順にあるものの数。

1. 問題の内容

「YOKOHAMA」の8文字を1列に並べる場合の数について、以下の2つの条件を満たす場合の数をそれぞれ求めます。

(1) OとAが必ず偶数番目にあるものの数。

(2) Y, K, H, Mがこの順にあるものの数。

2. 解き方の手順

(1) OとAが必ず偶数番目にある場合

まず、「YOKOHAMA」の8文字について考えます。

偶数番目は2, 4, 6, 8番目の4箇所です。

OとAの個数を確認すると、Oは1個、Aは2個です。よってOと2つのAを偶数番目に配置する方法を考える必要があります。

4つの偶数番目の場所から3つを選び、OとAを配置する方法は$_{4}P_{3}$通りですが、Aが2つあるので、同じものを含む順列の考え方で、$\frac{4 \times 3 \times 2}{2!} = 12$通りとなります。

残りの5文字（Y, K, H, M, A）を、残りの5つの場所（奇数番目と、OとAを配置しなかった偶数番目）に並べる方法は、$5! = 120$通りです。

したがって、OとAが必ず偶数番目にある並べ方の総数は、$12 \times 120 = 1440$通りです。

(2) Y, K, H, Mがこの順にある場合

Y, K, H, Mをすべて同じ文字（例えばX）だと考えます。すると、X, X, X, X, O, A, A, Hの8文字を並べる順列の問題となります。

8文字を並べる方法は$8!$通りですが、Xが4つ、Aが2つあるため、

$\frac{8!}{4!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{2} = 840$通りです。

この並び方において、4つのXをY, K, H, Mに戻すと、Y, K, H, Mはこの順に並んでいることになります。

したがって、Y, K, H, Mがこの順にある並べ方の総数は、$840$通りです。

3. 最終的な答え

(1) OとAが必ず偶数番目にあるものは1440通り。

(2) Y, K, H, Mがこの順にあるものは840通り。