与えられた4つの式を計算し、簡単にしてください。式はそれぞれ、根号を含む加減乗除の組み合わせです。

1. 問題の内容

与えられた4つの式を計算し、簡単にしてください。式はそれぞれ、根号を含む加減乗除の組み合わせです。

2. 解き方の手順

(1) $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$を共通因数としてまとめる。

$5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (5+3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{45} - 5\sqrt{20} + 4\sqrt{5}$

それぞれの根号の中身を素因数分解し、$\sqrt{5}$の形に変形する。

$\sqrt{45} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{20} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

これらの結果を元の式に代入する。

$3\sqrt{5} - 5(2\sqrt{5}) + 4\sqrt{5} = 3\sqrt{5} - 10\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = (3-10+4)\sqrt{5} = -3\sqrt{5}$

(3) $(3 - \sqrt{2})(2 + 3\sqrt{2})$

分配法則を使って展開する。

$(3 - \sqrt{2})(2 + 3\sqrt{2}) = 3(2) + 3(3\sqrt{2}) - \sqrt{2}(2) - \sqrt{2}(3\sqrt{2})$

$= 6 + 9\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 3(2) = 6 + 7\sqrt{2} - 6 = 7\sqrt{2}$

(4) $(\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2})$

これは$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$の形なので、この公式を利用する。

$(\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5$

3. 最終的な答え

(1) $8\sqrt{2}$

(2) $-3\sqrt{5}$

(3) $7\sqrt{2}$

(4) $5$