すべての実数 $x$ に対して、不等式 $a(x^2 + x - 1) < x^2 + x$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ に対して、不等式 $a(x^2 + x - 1) < x^2 + x$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を整理します。

$a(x^2 + x - 1) < x^2 + x$

$a x^2 + a x - a < x^2 + x$

$(a-1)x^2 + (a-1)x - a < 0$

場合分けをします。

(1) $a = 1$ のとき

$0x^2 + 0x - 1 < 0$

$-1 < 0$

これは常に成り立つので、$a=1$ は条件を満たします。

(2) $a < 1$ のとき

$(a-1)x^2 + (a-1)x - a < 0$

この不等式がすべての実数 $x$ について成り立つためには、$a-1 < 0$ (これは条件より満たされる) であり、かつ判別式 $D < 0$ である必要があります。

$D = (a-1)^2 - 4(a-1)(-a) = (a-1)^2 + 4a(a-1) = (a-1)(a-1+4a) = (a-1)(5a-1)$

$D < 0$ より、

$(a-1)(5a-1) < 0$

$\frac{1}{5} < a < 1$

(3) $a > 1$ のとき

$(a-1)x^2 + (a-1)x - a < 0$

$a > 1$ なので、 $a-1 > 0$ であり、この不等式は下に凸な放物線を表します。

したがって、すべての実数 $x$ について $(a-1)x^2 + (a-1)x - a < 0$ となることはありません。

(1) と (2) より、$\frac{1}{5} < a \le 1$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5} < a \le 1$