$xy$ 平面において、曲線 $y = \cos 2x$ ($-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$) 上に定点 $A(0, 1)$ がある。$A$ と異なる動点 $P$ をこの曲線上にとり、$2$ 点 $A$, $P$ を通り $y$ 軸上に中心を持つ円の半径を $r$ とする。$P$ が曲線上を限りなく $A$ に近づくとき、$r$ の極限値を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$ 平面において、曲線 $y = \cos 2x$ ($-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$) 上に定点 $A(0, 1)$ がある。$A$ と異なる動点 $P$ をこの曲線上にとり、$2$ 点 $A$, $P$ を通り $y$ 軸上に中心を持つ円の半径を $r$ とする。$P$ が曲線上を限りなく $A$ に近づくとき、$r$ の極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, \cos 2x)$ とする。円の中心は $y$ 軸上にあるので、$(0, k)$ とおく。点 $A(0, 1)$ と点 $P(x, \cos 2x)$ は円周上にあるので、

$(x-0)^2 + (\cos 2x - k)^2 = (0-0)^2 + (1 - k)^2$

が成り立つ。これを整理すると、

$x^2 + \cos^2 2x - 2k \cos 2x + k^2 = 1 - 2k + k^2$

$x^2 + \cos^2 2x - 1 = 2k(\cos 2x - 1)$

$k = \frac{x^2 + \cos^2 2x - 1}{2(\cos 2x - 1)}$

円の半径 $r$ は、$r = |1 - k|$ であるから、

$r = |1 - \frac{x^2 + \cos^2 2x - 1}{2(\cos 2x - 1)}| = |\frac{2\cos 2x - 2 - x^2 - \cos^2 2x + 1}{2(\cos 2x - 1)}|$

$r = |\frac{-\cos^2 2x + 2\cos 2x - 1 - x^2}{2(\cos 2x - 1)}| = |\frac{-(\cos 2x - 1)^2 - x^2}{2(\cos 2x - 1)}|$

$r = |\frac{(\cos 2x - 1)^2 + x^2}{2(1-\cos 2x)}|$

$x \to 0$ のとき、$r$ の極限値を求める。

ここで、$1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ を用いると、

$r = \frac{4\sin^4 x + x^2}{4\sin^2 x} = \sin^2 x + \frac{x^2}{4\sin^2 x} = \sin^2 x + \frac{1}{4} \frac{x^2}{\sin^2 x}$

$\lim_{x \to 0} r = \lim_{x \to 0} (\sin^2 x + \frac{1}{4} \frac{x^2}{\sin^2 x}) = 0 + \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$

別の解法：

$k = \frac{x^2 + \cos^2 2x - 1}{2(\cos 2x - 1)}$ を変形する。

$\cos^2 2x - 1 = -\sin^2 2x$ より、$k = \frac{x^2 - \sin^2 2x}{2(\cos 2x - 1)} = \frac{x^2 - \sin^2 2x}{-4\sin^2 x}$

ここで、$x \to 0$ のときの $\frac{\sin x}{x} \to 1$ を利用すると、

$\lim_{x \to 0} k = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - (2x)^2}{-4x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 4x^2}{-4x^2} = \frac{-3x^2}{-4x^2} = \frac{3}{4}$

したがって、$\lim_{x \to 0} r = |1 - \lim_{x \to 0} k| = |1 - \frac{3}{4}| = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$