長さが18cmの針金を折り曲げて長方形を作ったところ、面積が18cm²になった。この長方形の対角線の長さを求める。

1. 問題の内容

長さが18cmの針金を折り曲げて長方形を作ったところ、面積が18cm²になった。この長方形の対角線の長さを求める。

2. 解き方の手順

長方形の縦の長さを$x$ (cm)、横の長さを$y$ (cm)とする。

長方形の周囲の長さは針金の長さに等しいので、

$2(x+y) = 18$

$x+y = 9$

よって、$y = 9-x$ と表せる。

長方形の面積は18cm²なので、

$xy = 18$

$x(9-x) = 18$

$9x - x^2 = 18$

$x^2 - 9x + 18 = 0$

この二次方程式を解くと、

$(x-3)(x-6) = 0$

$x = 3, 6$

$x = 3$ のとき、$y = 9-3 = 6$

$x = 6$ のとき、$y = 9-6 = 3$

どちらの場合も、長方形の縦と横の長さは3cmと6cmである。

長方形の対角線の長さを$d$ (cm)とすると、三平方の定理より、

$d^2 = x^2 + y^2$

$d^2 = 3^2 + 6^2$

$d^2 = 9 + 36$

$d^2 = 45$

$d = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{5}$ cm