7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる5個を使って5桁の整数を作るとき、以下の条件を満たす整数は何個あるか。 (1) 整数 (2) 奇数 (3) 5の倍数

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる5個を使って5桁の整数を作るとき、以下の条件を満たす整数は何個あるか。

(1) 整数

(2) 奇数

(3) 5の倍数

2. 解き方の手順

(1) 整数:

5桁の整数を作るので、一番左の桁には0を入れることはできません。

まず、5個の数字の選び方を考えます。7個の数字から5個を選ぶ組み合わせは $_7C_5 = \frac{7!}{5!2!} = 21$ 通りです。

次に、5桁の整数を作る方法を考えます。

全順列は $5! = 120$通りです。ただし、先頭が0になる場合を除く必要があります。

まず、5個の数字の選び方を考えます。

1. 0を含まない場合: 1, 2, 3, 4, 5, 6 から5個を選ぶので $_6C_5 = 6$通りです。このとき、5桁の整数は $5! = 120$通りできます。

2. 0を含む場合: 1, 2, 3, 4, 5, 6 から4個を選ぶので $_6C_4 = 15$通りです。この5個の数字を使って5桁の整数を作る場合、先頭が0になる場合を除きます。

先頭が0になるのは、残りの4個の数字を並び替えるときなので $4! = 24$通りです。したがって、5桁の整数は $5! - 4! = 120 - 24 = 96$通りできます。

よって、整数は $6 \times 120 + 15 \times 96 = 720 + 1440 = 2160$個です。

(2) 奇数:

5桁の整数が奇数であるためには、一番右の桁が奇数でなければなりません。

奇数は1, 3, 5の3つです。

1. 一番右の桁が奇数で、0を含まない場合：

1, 3, 5から1つを選びます。選び方は$_3C_1 = 3$通り。

残りの6個の数字から4個を選びます。選び方は$_6C_4 = 15$通り。

選んだ5個の数字を使って5桁の奇数を作ります。

先頭が0になる場合を除くと、$5! - 4! = 96$通りです。

よって、奇数は$3\times 15 \times (5!/5)= 3 \times 15 \times \frac{120-24}{5} = 3 \times 15 \times \frac{96}{5}$ 個となり計算が合わないので、異なる解き方をします。

2. 0を含まず、末尾が奇数の場合：

末尾の奇数の選び方は 3通り。残りの4桁は、残りの奇数2個と偶数3個から4個を選ぶ。数字の選び方は 6C4 = 15通り。並び方は5!/5 =4! = 24通り

　3 * 15 * 24 = 1080 通り

3. 0を含み、末尾が奇数の場合

末尾の奇数の選び方は 3通り。残りの4桁は、残りの奇数2個と偶数2個と0から4個を選ぶ。

数字の選び方は 6C4 = 15通り。並び方は5! - 4! = 96通り。0が先頭に来る場合を除外。

3 * 15 * (5!-4!) = 3 * 15 * 96 = 4320

計算ミスがあります。

奇数の場合は、末尾が 1, 3, 5 のいずれかになります。

(i) 末尾が奇数の場合：末尾を固定して考える。

末尾が奇数の場合、末尾の決め方は3通り。

残りの4桁の決め方：

　(a) 0を含まない場合：残り6個から4個選ぶので 6C4 = 15通り。並び方は 4! = 24通り。

　　なので 15*24 = 360

(b) 0を含む場合：残り6個から4個選ぶときに0を含めて選ぶので 6C3 = 20通り。並び方は 5! - 4! = 96通り。 0が先頭に来る場合を除く

5個並べるうち、0が先頭に来るのが4! = 24通り

したがって、残りは 5!-4! = 96通り

奇数は、3 * ( 15 * 24 + 20 * (5!-4!)/20 ) = 120

(3) 5の倍数:

5の倍数になるのは、末尾が0または5の場合です。

(i) 末尾が0の場合：

残りの6個の数字から4個を選び、残りの4桁に並べる。

6C4 = 15通り

残りの4個を並べるので、4! = 24通り

よって、15 * 24 = 360通り

(ii) 末尾が5の場合：

残りの6個から4個選ぶ。ただし0を含む場合と含まない場合で分ける。

(a) 0を含まない場合：5個の奇数と偶数から4個を選ぶので 5C4 = 5通り。

残りの4個を並べるので 4! = 24通り

(b) 0を含む場合： 残りの5個の奇数と偶数から0を含めて4個を選ぶので 5C3 = 10通り

先頭が0になる場合を引くと、5! - 4! = 120 -24 = 96

したがって $10 \times 96$ 個とはならない.

末尾が0である場合：

0を末尾に固定し、残りの6個の数字から4個を選んで並べる。

数字の選び方は$_6C_4 = 15$通り。

並べ方は$4! = 24$通り。

したがって、 $15 \times 24 = 360$通り。

末尾が5である場合：

5を末尾に固定し、残りの6個の数字から4個を選ぶ。

(i) 0を含まない場合：0を含まない5個の数字から4個を選ぶ。$_5C_4 = 5$通り。並べ方は$4! = 24$通り。$5 \times 24 = 120$通り。

(ii) 0を含む場合：0を含む4個を選ぶ。数字の選び方は$_5C_3 = 10$通り。この5個の数字を使って5桁の整数を作る場合、先頭が0になる場合を除きます。先頭が0になるのは、残りの4個の数字を並び替えるときなので $4! = 24$通りです。したがって、並べ方は$5! - 4! = 120 - 24 = 96$通り。

よって、$10 \times 96 = 960$通り。

よって、5の倍数は $360 + 120 + 960= 1260 + 180 =1440$通り。

3. 最終的な答え

(1) 整数: 2160個

(2) 奇数: 計算中

(3) 5の倍数: 1440個