与えられた4つの式の2重根号を外して、式を簡単にします。 (1) $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$ (2) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$ (3) $\sqrt{10-\sqrt{84}}$ (4) $\sqrt{6+\sqrt{35}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの式の2重根号を外して、式を簡単にします。

(1) $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$

(2) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$

(3) $\sqrt{10-\sqrt{84}}$

(4) $\sqrt{6+\sqrt{35}}$

2. 解き方の手順

2重根号を外す公式は、$\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$ で、このとき $a = x+y$ かつ $b = xy$ となる $x$ と $y$ を探します。

(1) $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$ の場合：

$x+y = 11$ かつ $xy = 30$ となる $x$ と $y$ を探します。

$x=6$ と $y=5$ が条件を満たします。

したがって、$\sqrt{11+2\sqrt{30}} = \sqrt{6} + \sqrt{5}$

(2) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$ の場合：

$x+y = 9$ かつ $xy = 14$ となる $x$ と $y$ を探します。

$x=7$ と $y=2$ が条件を満たします。

したがって、$\sqrt{9-2\sqrt{14}} = \sqrt{7} - \sqrt{2}$

(3) $\sqrt{10-\sqrt{84}}$ の場合：

まず、$\sqrt{84}$ を $2\sqrt{b}$ の形にする必要があります。

$\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$

したがって、$\sqrt{10-\sqrt{84}} = \sqrt{10-2\sqrt{21}}$

$x+y = 10$ かつ $xy = 21$ となる $x$ と $y$ を探します。

$x=7$ と $y=3$ が条件を満たします。

したがって、$\sqrt{10-2\sqrt{21}} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$

(4) $\sqrt{6+\sqrt{35}}$ の場合：

まず、$\sqrt{35}$ を $2\sqrt{b}$ の形にする必要があります。

$\sqrt{6+\sqrt{35}}$を$\sqrt{2}$倍し$\sqrt{2}$で割ると、$\frac{\sqrt{12+2\sqrt{35}}}{\sqrt{2}}$となる。

$x+y = 12$ かつ $xy = 35$ となる $x$ と $y$ を探します。

$x=7$ と $y=5$ が条件を満たします。

したがって、$\frac{\sqrt{12+2\sqrt{35}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{6} + \sqrt{5}$

(2) $\sqrt{7} - \sqrt{2}$

(3) $\sqrt{7} - \sqrt{3}$

(4) $\frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2}$