5個の数字0, 1, 2, 3, 4から異なる4個を使って4桁の整数を作るとき、以下の整数は何個あるか。 (1) 整数 (2) 奇数 (3) 偶数 (4) 10の倍数

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4から異なる4個を使って4桁の整数を作るとき、以下の整数は何個あるか。

(1) 整数

(2) 奇数

(3) 偶数

(4) 10の倍数

2. 解き方の手順

(1) 整数

4桁の整数を作る場合、千の位には0以外の数字が入ります。

* 千の位が0でない場合: 千の位の選び方は4通り（1, 2, 3, 4）。残りの百の位、十の位、一の位は、残りの4つの数字から3つを選ぶ順列なので、 $P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ 通り。

したがって、 $4 \times 24 = 96$ 通り。

(2) 奇数

一の位が奇数である必要があります。奇数は1と3の2つです。

* 一の位が1または3の場合:

* 千の位が0でない場合:

* 一の位が1または3のとき、千の位は0以外の3通り。残りの百の位、十の位は、残りの3つの数字から2つを選ぶ順列なので、 $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ 通り。

したがって、 $2 \times 3 \times 6 = 36$通り。

* 千の位が0の場合：

一の位が1または3のとき、千の位が0の場合を考えると、千の位は0で固定されているので場合分けが必要です。しかし、千の位が0になる場合はないので、考慮しません。

(3) 偶数

一の位が偶数である必要があります。偶数は0, 2, 4の3つです。

ただし、一の位が0の場合と、2または4の場合で分けて考えます。

* 一の位が0の場合:

千の位は0以外の4通り。残りの百の位、十の位は、残りの3つの数字から2つを選ぶ順列なので、 $P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$通り。したがって、 $4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

* 一の位が2または4の場合:

* 千の位が0でない場合：

一の位が2または4のとき、千の位は0以外の3通り。残りの百の位、十の位は、残りの3つの数字から2つを選ぶ順列なので、 $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ 通り。

したがって、$2 \times 3 \times 6 = 36$ 通り。

* 千の位が0の場合：

一の位が2または4のとき、千の位が0になる場合はないので、考慮しません。

合計すると、 $24+36 = 60$通り。

(4) 10の倍数

10の倍数になるには、一の位が0である必要があります。

* 一の位が0の場合:

千の位は0以外の4通り。残りの百の位、十の位は、残りの3つの数字から2つを選ぶ順列なので、 $P(4,3)=4 \times 3 \times 2=24$ 通り。

したがって、 $4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

3. 最終的な答え

(1) 整数: 96個

(2) 奇数: 36個

(3) 偶数: 60個

(4) 10の倍数: 24個