全体集合$U$を1から100までの整数の集合とする。$U$の部分集合$A$を4の倍数全体の集合、$B$を6の倍数全体の集合とする。 (1) $n(A)$, $n(B)$, $n(A \cup B)$をそれぞれ求めよ。 (2) $n(\overline{A} \cap B)$, $n(A \cap \overline{B})$をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

全体集合$U$を1から100までの整数の集合とする。$U$の部分集合$A$を4の倍数全体の集合、$B$を6の倍数全体の集合とする。

(1) $n(A)$, $n(B)$, $n(A \cup B)$をそれぞれ求めよ。

(2) $n(\overline{A} \cap B)$, $n(A \cap \overline{B})$をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$n(A)$を求める。1から100までの4の倍数の個数は、$100 \div 4 = 25$より、25個である。したがって、$n(A) = 25$。

次に、$n(B)$を求める。1から100までの6の倍数の個数は、$100 \div 6 = 16$ あまり 4 より、16個である。したがって、$n(B) = 16$。

次に、$n(A \cup B)$を求める。

$A \cup B$は、4の倍数または6の倍数の集合である。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$である。

$A \cap B$は4の倍数かつ6の倍数の集合、つまり12の倍数の集合である。

1から100までの12の倍数の個数は、$100 \div 12 = 8$ あまり 4 より、8個である。

したがって、$n(A \cap B) = 8$。

よって、$n(A \cup B) = 25 + 16 - 8 = 33$。

(2)

$\overline{A} \cap B$ は、$A$ でないかつ $B$ である、つまり4の倍数でなく6の倍数であるものの集合である。

$n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B) = 16 - 8 = 8$。

$A \cap \overline{B}$ は、$A$ でありかつ $B$ でない、つまり4の倍数で6の倍数でないものの集合である。

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B) = 25 - 8 = 17$。

3. 最終的な答え

(1) $n(A) = 25$, $n(B) = 16$, $n(A \cup B) = 33$

(2) $n(\overline{A} \cap B) = 8$, $n(A \cap \overline{B}) = 17$