$x + y + z = 10$ を満たす負でない整数 $x$, $y$, $z$ の組が全部で何個あるか求める問題です。

1. 問題の内容

$x + y + z = 10$ を満たす負でない整数 $x$, $y$, $z$ の組が全部で何個あるか求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、重複組み合わせの問題として考えることができます。

10個の同じもの（例えば、玉）を、3つの異なる箱（$x$, $y$, $z$ に対応）に入れる場合の数を求める問題と解釈できます。

この場合の数は、仕切りの数を考えることで求めることができます。

10個の玉を一列に並べ、その間に2つの仕切りを入れることを考えます。

例えば、玉を〇、仕切りを｜とすると、以下のような並び方が考えられます。

〇〇｜〇〇〇｜〇〇〇〇

これは $x=2$, $y=3$, $z=5$ に対応します。

10個の玉と2つの仕切りを並べる方法は、全部で12個の場所から2つの仕切りを選ぶ方法の数に等しいです。

したがって、組み合わせの数 ${}_{12}C_2$ を計算します。

${}_{12}C_2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66$

3. 最終的な答え

66個