画像の問題は、格子状の道順に関する問題です。 (1) PからQまでの最短経路の数を求めます。 (2) Rを通ってPからQまでの最短経路の数を求めます。 (3) Xを通らずにPからQまでの最短経路の数を求めます。

1. 問題の内容

画像の問題は、格子状の道順に関する問題です。

(1) PからQまでの最短経路の数を求めます。

(2) Rを通ってPからQまでの最短経路の数を求めます。

(3) Xを通らずにPからQまでの最短経路の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) PからQまでの最短経路の数

PからQへ行くには、右に5回、上に4回移動する必要があります。したがって、合計9回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ組み合わせの数を計算します。これは、9回の移動から5回右を選ぶ組み合わせと同じなので、

$_9C_5$ で計算できます。

$_9C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(2) Rを通ってPからQまでの最短経路の数

まず、PからRまでの最短経路の数を計算します。PからRへ行くには、右に2回、上に3回移動する必要があります。したがって、合計5回の移動のうち、右への移動を2回選ぶ組み合わせの数を計算します。これは、5回の移動から2回右を選ぶ組み合わせと同じなので、

$_5C_2$ で計算できます。

$_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

次に、RからQまでの最短経路の数を計算します。RからQへ行くには、右に3回、上に1回移動する必要があります。したがって、合計4回の移動のうち、右への移動を3回選ぶ組み合わせの数を計算します。これは、4回の移動から3回右を選ぶ組み合わせと同じなので、

$_4C_3$ で計算できます。

$_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4}{1} = 4$

したがって、Rを通ってPからQまでの最短経路の数は、

$10 \times 4 = 40$

(3) Xを通らずにPからQまでの最短経路の数

PからQまでの経路全体から、Xを通る経路の数を引けばよいです。

PからXまでの最短経路の数は、右に1回、上に1回なので、 $_2C_1 = 2$

XからQまでの最短経路の数は、右に4回、上に3回なので、$_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

したがって、Xを通るPからQまでの最短経路の数は、$2 \times 35 = 70$

Xを通らずにPからQまでの最短経路の数は、$126 - 70 = 56$

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 40通り

(3) 56通り