12人を指定された人数構成のグループに分ける場合の数を求める問題です。具体的には、以下の5つの場合に分けて考えます。 (1) 5人、4人、3人のグループに分ける (2) 4人ずつA組、B組、C組の3組に分ける (3) 4人ずつ3組に分ける (4) 6人、3人、3人のグループに分ける (5) 4人、4人、2人、2人のグループに分ける

1. 問題の内容

12人を指定された人数構成のグループに分ける場合の数を求める問題です。具体的には、以下の5つの場合に分けて考えます。

(1) 5人、4人、3人のグループに分ける

(2) 4人ずつA組、B組、C組の3組に分ける

(3) 4人ずつ3組に分ける

(4) 6人、3人、3人のグループに分ける

(5) 4人、4人、2人、2人のグループに分ける

2. 解き方の手順

(1) 5人、4人、3人に分ける場合

12人から5人を選び、残りの7人から4人を選び、最後に残った3人を3人のグループとする場合の数を計算します。これは組み合わせの積で表されます。

$_{12}C_5 \times _7C_4 \times _3C_3 = \frac{12!}{5!7!} \times \frac{7!}{4!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{12!}{5!4!3!}$

(2) 4人ずつA組、B組、C組の3組に分ける場合

12人からA組の4人を選び、残りの8人からB組の4人を選び、最後に残った4人をC組とする場合の数を計算します。これは組み合わせの積で表されます。

$_{12}C_4 \times _8C_4 \times _4C_4 = \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!} = \frac{12!}{4!4!4!}$

(3) 4人ずつ3組に分ける場合

(2)の場合と異なり、A組、B組、C組の区別がないため、3!で割る必要があります。

$\frac{_{12}C_4 \times _8C_4 \times _4C_4}{3!} = \frac{12!}{4!4!4!3!}$

(4) 6人、3人、3人に分ける場合

12人から6人を選び、残りの6人から3人を選び、最後に残った3人を3人のグループとする場合の数を計算します。ただし、3人のグループが2つあるため、2!で割る必要があります。

$\frac{_{12}C_6 \times _6C_3 \times _3C_3}{2!} = \frac{12!}{6!3!3!2!}$

(5) 4人、4人、2人、2人に分ける場合

12人から4人を選び、残りの8人から4人を選び、残りの4人から2人を選び、最後に残った2人を2人のグループとする場合の数を計算します。4人のグループが2つ、2人のグループが2つあるため、それぞれ2!で割る必要があります。

$\frac{_{12}C_4 \times _8C_4 \times _4C_2 \times _2C_2}{2!2!} = \frac{12!}{4!4!2!2!2!2!}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{12!}{5!4!3!} = 27720$ 通り

(2) $\frac{12!}{4!4!4!} = 34650$ 通り

(3) $\frac{12!}{4!4!4!3!} = 5775$ 通り

(4) $\frac{12!}{6!3!3!2!} = 15400$ 通り

(5) $\frac{12!}{4!4!2!2!2!2!} = 207900$ 通り