全体集合$U$の部分集合$A$, $B$について、 $n(U) = 100$, $n(A \cup B) = 70$, $n(A \cap B) = 15$, $n(A \cap \overline{B}) = 40$ であるとき、次の個数を求めよ。 (1) $n(A)$ (2) $n(B)$ (3) $n(\overline{A} \cap B)$ (4) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合$U$の部分集合$A$, $B$について、

$n(U) = 100$, $n(A \cup B) = 70$, $n(A \cap B) = 15$, $n(A \cap \overline{B}) = 40$ であるとき、次の個数を求めよ。

(1) $n(A)$

(2) $n(B)$

(3) $n(\overline{A} \cap B)$

(4) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(A)$

$A$は$A \cap B$と$A \cap \overline{B}$に分割できるので、

$n(A) = n(A \cap B) + n(A \cap \overline{B}) = 15 + 40 = 55$

(2) $n(B)$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ より、

$n(B) = n(A \cup B) - n(A) + n(A \cap B)$

$n(B) = 70 - 55 + 15 = 30$

(3) $n(\overline{A} \cap B)$

$B$は$A \cap B$と$\overline{A} \cap B$に分割できるので、

$n(B) = n(A \cap B) + n(\overline{A} \cap B)$

$n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$

$n(\overline{A} \cap B) = 30 - 15 = 15$

(4) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ (ド・モルガンの法則)

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 100 - 70 = 30$

3. 最終的な答え

(1) $n(A) = 55$

(2) $n(B) = 30$

(3) $n(\overline{A} \cap B) = 15$

(4) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 30$