与えられたグラフが平面的であるかどうかを判断し、平面的である場合は平面描画を行う。与えられたグラフは5つの頂点 a, b, c, d, e からなり、a は b, c, d, e と接続しており、b, c, d, e はそれぞれ隣接する2つの頂点と接続している。

1. 問題の内容

与えられたグラフが平面的であるかどうかを判断し、平面的である場合は平面描画を行う。与えられたグラフは5つの頂点 a, b, c, d, e からなり、a は b, c, d, e と接続しており、b, c, d, e はそれぞれ隣接する2つの頂点と接続している。

2. 解き方の手順

グラフが平面的であるかどうかの判断には、以下の事実を利用できる。

* 平面グラフの性質：平面グラフにおいて、頂点数を $v$ 、辺数を $e$ とすると、$v \geq 3$ のとき、$e \leq 3v - 6$ が成り立つ。

* Kuratorskiの定理：グラフが平面的であるための必要十分条件は、$K_5$ または $K_{3,3}$ を部分グラフとして含まないことである。

まず、$K_5$ グラフは5つの頂点があり、どの2つの頂点間にも辺が存在する完全グラフである。与えられたグラフは、a を中心に他の4つの頂点が接続されているため、$K_5$ の可能性があります。しかし、b, c, d, e の間には全ての辺があるわけではないので、$K_5$ ではありません。

$K_{3,3}$ グラフは、頂点集合が2つのグループに分けられ、各グループが3つの頂点を持つ二部グラフであり、一方のグループの各頂点はもう一方のグループの全ての頂点と接続している。

このグラフの平面性を確認するために、平面的な再描画を試みる。まず、b, c, d, e を円周上に配置し、隣り合う頂点を結ぶ。次に、a を円の中心に配置し、a と b, c, d, e を結ぶ。この描画では、辺 $a-c$ と $b-e$ が交差する。しかし、辺の配置を変更することで、交差をなくすことができる。具体的には、以下の手順で平面的な描画を作成できる。

1. b, c, d, e を円周上に時計回りに配置する。

2. a を円の外側に配置する。

3. a と b, c, d, e を結ぶ。

4. b と d を結ぶ。

5. c と e を結ぶ。

この手順で、辺の交差をなくすことができる。

3. 最終的な答え

グラフは平面的である。

平面描画の一例：

a を円の外に、b,c,d,e を円周上に時計回りに配置し、

a-b, a-c, a-d, a-e, b-c, c-d, d-e, e-b を結ぶ。